Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在拋物線上存在點(diǎn)P（不與點(diǎn)D重合），使得S△PAB=S△ABD，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+2，4）或（1﹣2，4）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x﹣1）2﹣4，再將C（0，﹣3）代入求解即可；

（2）由S△PAB=S△ABD，根據(jù)三角形面積公式可得點(diǎn)P到線段AB的距離一定等于頂點(diǎn)D到AB的距離，而D的坐標(biāo)為（1，﹣4），所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一定為4．將y=4代入（1）中所求解析式，得到x2﹣2x﹣3=4，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4），

∴設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x﹣1）2﹣4，

又∵拋物線過(guò)點(diǎn)C（0，﹣3），

∴﹣3=a（0﹣1）2﹣4，

解得a=1，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵S△PAB=S△ABD，且點(diǎn)P在拋物線上，

∴點(diǎn)P到線段AB的距離一定等于頂點(diǎn)D到AB的距離，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一定為4．

令y=4，則x2﹣2x﹣3=4，

解得x1=1+2，x2=1﹣2．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+2，4）或（1﹣2，4）．