Question

【題目】若關(guān)于x的一元二次方程3x2＋3(a＋b)x＋4ab＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足關(guān)系式：x1(x1＋1)＋x2(x2＋1)＝(x1＋1)(x2＋1)．判斷(a＋b)2≤4是否正確，若正確，請(qǐng)加以證明；若不正確，請(qǐng)舉一反例．

Answer 1

【答案】正確，證明見解析．

【解析】

先把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，由一元二次方程跟的判別式大于等于0即可得出結(jié)論．

解：(a＋b)2≤4是正確，理由如下：

∵　關(guān)于x的一元二次方程3x2＋3(a＋b)x＋4ab＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴Δ≥0，即［3(a＋b)2］-4×3×4ab≥0，

即：3(a＋b)2-16ab≥0 ①

　x1、x2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到：

x1＋x2=，x1·x2＝，

∵　x1(x1＋1)＋x2(x2＋1)＝(x1＋1)(x2＋1)，

∴　x12＋x1＋x22＋x2＝x1x2＋x1＋x2＋1，

x12＋x22＝x1x2＋1，

(x1＋x2)2-3x1x2＝1．

∴，

∴，

∴ ②

把②代入①，得

，

∴．