Question

【題目】閱讀下列材料，并解答后面的問題．

在學(xué)習(xí)了直角三角形的邊角關(guān)系后，小穎和小明兩個(gè)學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探究任意銳角三角形的邊角關(guān)系：在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c．

（1）小明學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：

如圖1，過A作AD⊥BC于D，則sinB=，sinC=即AD=csinB，AD=bsinC，于是_____=______即，同理有，

則有

（2）小穎學(xué)習(xí)小組則利用圓的有關(guān)性質(zhì)也得到了類似的結(jié)論：

如圖2，△ABC的外接圓半徑為R，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)DB，則∠D=∠A，

∵CD為⊙O的直徑，∴∠DBC=90°，

在Rt△DBC中，

∵，

∴，

同理：，

則有

請(qǐng)你將這一結(jié)論用文字語言描述出來: ．

小穎學(xué)習(xí)小組在證明過程中略去了“”的證明過程，請(qǐng)你把“”的證明過程補(bǔ)寫出來．

（3）直接用前面閱讀材料中得出的結(jié)論解決問題

規(guī)劃局為了方便居民，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一座學(xué)校，使它到三個(gè)住宅小區(qū)的距離相等，已知小區(qū)C在小區(qū)B的正東方向千米處，小區(qū)A在小區(qū)B的東北方向，且A與C之間相距千米，求學(xué)校到三個(gè)小區(qū)的距離及小區(qū)A在小區(qū)C的什么方向？

Answer 1

【答案】（1）csinB，bsinC；（2）在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑；（3）學(xué)校到三個(gè)小區(qū)的距離為1千米，小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向．

【解析】

（1）由AD=csinB，AD=bsinC可得答案；

（2）由結(jié)論可總結(jié)為：在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑，據(jù)此解答即可；

（3）根據(jù)題意畫出圖形如圖，則∠B=45°，BC=千米，AC=千米，設(shè)學(xué)校的位置為點(diǎn)O，則OA=OB=OC=R，由閱讀材料的結(jié)論可得：，由此即可求出∠BAC的度數(shù)和R的值，進(jìn)而可求出∠ACB的度數(shù)，即得∠ACN的度數(shù)，問題即得解決．

解：（1）由AD=csinB，AD=bsinC得：csinB=bsinC；

故答案為：csinB，bsinC；

（2）由這一結(jié)論用文字語言描述出來是：在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑．

故答案為：在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑；

（3）如圖，由題意得：∠B=45°，BC=千米，AC=千米，設(shè)學(xué)校的位置為點(diǎn)O，則OA=OB=OC=R，

由閱讀材料的結(jié)論可得：，

即，

解得：，千米，

∴∠BAC=60°，

∴∠ACB=180°－45°－60°=75°，

∴∠ACN=15°，即小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向．

答：學(xué)校到三個(gè)小區(qū)的距離為1千米，小區(qū)A在小區(qū)C的北偏西15°的方向．