Question

如圖四邊形AOBC是正方形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4

2

，0），動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)P沿著折線OACB的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q沿著折線OBCA的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求出經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上，連接PQ交AB于點(diǎn)R，當(dāng)AR=3

2

時(shí)，請(qǐng)求出直線PQ的解析式．
（3）若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相遇停止．設(shè)△OPQ的面積為S．請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．
（4）判斷在（3）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大？

Answer 1

分析：（1）要求經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式，只要求出點(diǎn)A的坐標(biāo)就可以，并且根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)A是頂點(diǎn)，所以根據(jù)正方形的性質(zhì)很容易求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題．
（2）要求直線PQ的解析式，根據(jù)P、Q的速度關(guān)系，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出P、Q的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出其解析式就可．
（3）本問(wèn)實(shí)際上是一個(gè)分段函數(shù)，P、Q到達(dá)不同的位置S與t的解析式是不一樣的，Q到達(dá)B點(diǎn)時(shí)P在OA的中點(diǎn)，Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)P到達(dá)A點(diǎn)，求出P、Q的 相遇時(shí)間分3種情況就可以表示出其函數(shù)關(guān)系式．
（4）通過(guò)第（3）問(wèn)的函數(shù)關(guān)系式及圖形就可以比較或計(jì)算出△OPQ的最大面積．

解答：解：（1）設(shè)AB、OC相交于點(diǎn)D．
∵四邊形ACBO是正方形，
∴OD=CD=

1

2

OC，OD⊥CD，∠OAD=∠AOC=45°，AB=OC，∠OAC=90°，
∴∠ADC=90°，DO=DA，AB=4

2

，OA=AC=BC=OB=4，
∵OC=4

2

，
∴DO=DA=2

2

，
∴點(diǎn)A（2

2

，2

2

），
設(shè)經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．由題意得

- b 2a =2 2 4ac-b2 4a =2 2 0=32a+4 2 b+c

，
解得：

a=- 2 4 b=2 c=0

．
故經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=-

2

4

x2+2x；

（2）設(shè)t秒后點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上，連接PQ交AB于點(diǎn)R．
∴OP=t，OB+BQ=2t
∴AP=4-t，BQ=2t-4
∵AR=3

2

∴BR=

2

∵△ARP∽△BRQ
∴

AR

BR

=

AP

BQ

∴

4-t

2t-4

=

3 2

2

解得：t=

16

7

∴OP=

16

7

，P（

8 2

7

，

8 2

7

）
BQ=

4

7

，Q（

16 2

7

，-

12 2

7

）
設(shè)PQ的解析式為y=kx+b，由題意得

8 2 7 = 8 2 7 k+b - 12 2 7 = 16 2 7 k+b

解得：

k=- 5 2 b=4 2

∴PQ的解析式為：y=-

5

2

x+4

2

；

（3）由題意得
t+2t=16
解得：t=

16

3

∴PQ相遇的時(shí)間為

16

3

在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中S與t的函數(shù)關(guān)系式有三種情況：
S=

1 2 t•2t=t2     (0≤t≤2) 1 2 t•4=2t      (2＜t≤4) -6t+32         (4＜t≤ 16 3 )

（4）在（3）的條件下，當(dāng)t=4時(shí)，△OPQ的面積最大．
∴S_△OPQ最大=8

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式、直線的解析式以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在函數(shù)中的運(yùn)用．本題難度比較大，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．