如圖四邊形AOBC是正方形,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4數(shù)學(xué)公式,0),動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)P沿著折線OACB的方向運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q沿著折線OBCA的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
(1)求出經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上,連接PQ交AB于點(diǎn)R,當(dāng)AR=3數(shù)學(xué)公式時(shí),請(qǐng)求出直線PQ的解析式.
(3)若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度作業(yè)寶,兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相遇停止.設(shè)△OPQ的面積為S.請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.
(4)判斷在(3)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ的面積最大?

解:(1)設(shè)AB、OC相交于點(diǎn)D.
∵四邊形ACBO是正方形,
∴OD=CD=OC,OD⊥CD,∠OAD=∠AOC=45°,AB=OC,∠OAC=90°,
∴∠ADC=90°,DO=DA,AB=4,OA=AC=BC=OB=4,
∵OC=4,
∴DO=DA=2,
∴點(diǎn)A(2,2),
設(shè)經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c.由題意得
,
解得:
故經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為:y=;

(2)設(shè)t秒后點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上,連接PQ交AB于點(diǎn)R.
∴OP=t,OB+BQ=2t
∴AP=4-t,BQ=2t-4
∵AR=3
∴BR=
∵△ARP∽△BRQ


解得:t=
∴OP=,P(
BQ=,Q(
設(shè)PQ的解析式為y=kx+b,由題意得

解得:
∴PQ的解析式為:y=

(3)由題意得
t+2t=16
解得:t=
∴PQ相遇的時(shí)間為在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中S與t的函數(shù)關(guān)系式有三種情況:


(4)在(3)的條件下,當(dāng)t=4時(shí),△OPQ的面積最大.
∴S△OPQ最大=8
分析:(1)要求經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式,只要求出點(diǎn)A的坐標(biāo)就可以,并且根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)A是頂點(diǎn),所以根據(jù)正方形的性質(zhì)很容易求出點(diǎn)A的坐標(biāo),從而解決問題.
(2)要求直線PQ的解析式,根據(jù)P、Q的速度關(guān)系,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出P、Q的坐標(biāo),最后利用待定系數(shù)法求出其解析式就可.
(3)本問實(shí)際上是一個(gè)分段函數(shù),P、Q到達(dá)不同的位置S與t的解析式是不一樣的,Q到達(dá)B點(diǎn)時(shí)P在OA的中點(diǎn),Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)P到達(dá)A點(diǎn),求出P、Q的 相遇時(shí)間分3種情況就可以表示出其函數(shù)關(guān)系式.
(4)通過第(3)問的函數(shù)關(guān)系式及圖形就可以比較或計(jì)算出△OPQ的最大面積.
點(diǎn)評(píng):本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式、直線的解析式以及動(dòng)點(diǎn)問題在函數(shù)中的運(yùn)用.本題難度比較大,是一道綜合性較強(qiáng)的試題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖四邊形AOBC是正方形,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4
2
,0),動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)P沿著折線OACB的方向運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q沿著折線OBCA的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
(1)求出經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上,連接PQ交AB于點(diǎn)R,當(dāng)AR=3
2
時(shí),請(qǐng)求出直線PQ的解析式.
(3)若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度精英家教網(wǎng),兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相遇停止.設(shè)△OPQ的面積為S.請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.
(4)判斷在(3)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ的面積最大?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四邊形AOBC是正方形,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4
2
,0),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿折線OACB方向勻速運(yùn)動(dòng),另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿折線CBOA方向勻速運(yùn)動(dòng).
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)點(diǎn)和正方形AOBC的面積;
(2)將正方形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,求旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積;
(3)若P的運(yùn)動(dòng)速度是1個(gè)單位/每秒,Q的運(yùn)動(dòng)速度是2個(gè)單位/每秒,P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A 時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,是否存在這樣的t值,使△OPQ成為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線y=(
1
2
sin45°)x2-2x+n過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)C,它的頂點(diǎn)為B,四邊形AOBC是菱形,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā),P沿折線OACB運(yùn)動(dòng),Q沿折線OBCA運(yùn)動(dòng).
(1)求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo),并求出菱形AOBC的邊長;
(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度的3倍,點(diǎn)Q第一次運(yùn)動(dòng)到BC上,連接PQ交AB于點(diǎn)R,當(dāng)AR=3
2
時(shí),求直線PQ的解析式;
(3)若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是每秒3個(gè)單位長,運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)停止.設(shè)△OPQ的面積為S,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,求這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ的面積最大.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年湖北省黃岡市黃州中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

如圖四邊形AOBC是正方形,點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,0),動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)P沿著折線OACB的方向運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q沿著折線OBCA的方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
(1)求出經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)P的2倍,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊BC上,連接PQ交AB于點(diǎn)R,當(dāng)AR=3時(shí),請(qǐng)求出直線PQ的解析式.
(3)若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度,兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到相遇停止.設(shè)△OPQ的面積為S.請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.
(4)判斷在(3)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ的面積最大?

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