Question

【題目】操作：“如圖1，P是平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)（x軸上的點(diǎn)除外），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q．”我們將此由點(diǎn)P得到點(diǎn)Q的操作稱(chēng)為點(diǎn)的T變換．

（1）點(diǎn)P（a，b）經(jīng)過(guò)T變換后得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ；若點(diǎn)M經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)N（6，﹣），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ．

（2）A是函數(shù)y=x圖象上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)T變換后得到點(diǎn)B．

①求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，點(diǎn)B的直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖2，直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)D，求△OAB的面積與△OAD的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）Q（a+b，b）；M（9，﹣2）；(2)①y=x；②

【解析】

試題分析：（1）連接CQ可知△PCQ為等邊三角形，過(guò)Q作QD⊥PC，利用等邊三角形的性質(zhì)可求得CD和QD的長(zhǎng)，則可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用P、Q坐標(biāo)之間的關(guān)系可得到點(diǎn)M的方程，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①可取A（2，），利用T變換可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)示可求得直線(xiàn)OB的函數(shù)表達(dá)式；②由待定系數(shù)示可求得直線(xiàn)AB的解析式，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得AB、AD的長(zhǎng)，可求得△OAB的面積與△OAD的面積之比．

試題解析：（1）如圖1，連接CQ，過(guò)Q作QD⊥PC于點(diǎn)D，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∵P（a，b），

∴OC=a，PC=b，

∴CD=PC=b，DQ=PQ=b，

∴Q（a+b，b）；

設(shè)M（x，y），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（x+y，y），

∵N（6，﹣），

∴，解得，

∴M（9，﹣2）；

（2）①∵A是函數(shù)y=x圖象上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，

∴可取A（2，），

∴2+×=，×=，

∴B（，），

設(shè)直線(xiàn)OB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，則k=，解得k=，

∴直線(xiàn)OB的函數(shù)表達(dá)式為y=x；

②設(shè)直線(xiàn)AB解析式為y=k′x+b，

把A、B坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線(xiàn)AB解析式為y=﹣x+，

∴D（0，），且A（2，），B（，），

∴AB=，AD=，

∴．