【題目】一般地,對于已知一次函數(shù)y1=ax+b,y2=cx+d(其中ab,c,d為常數(shù),且ac0),定義一個新函數(shù)y=,稱yy1y2的算術中項,yx的算術中項函數(shù).

1)如:一次函數(shù)y1=x4,y2=x+6,yx的算術中項函數(shù),即y=

①自變量x的取值范圍是   ,當x=   時,y有最大值;

②根據(jù)函數(shù)研究的途徑與方法,請?zhí)顚懴卤恚⒃趫D1中描點、連線,畫出此函數(shù)的大致圖象;

x

8

9

10

12

13

14

16

17

18

y

0

1.2

1.6

   

2.04

2

   

1.2

0

③請寫出一條此函數(shù)可能有的性質(zhì)   

2)如圖2,已知一次函數(shù)y1=x+2,y2=2x+6的圖象交于點E,兩個函數(shù)分別與x軸交于點A,C,與y軸交于點B,D,yx的算術中項函數(shù),即y=

①判斷:點A、CE是否在此算術中項函數(shù)的圖象上;

②在平面直角坐標系中是否存在一點,到此算術中項函數(shù)圖象上所有點的距離相等,如果存在,請求出這個點;如果不存在,請說明理由.

【答案】8≤x≤18,13;②2,1.7,畫圖見解析;③8x13時,yx的增大而增大和13x18時,yx的增大而減。ù鸢覆晃ㄒ唬;(2)①點AC、E在此算術中項函數(shù)的圖象上;②存在,(﹣,0

【解析】

1)①轉(zhuǎn)化為二次不等式求出c的取值范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

②把x=12,x=16代入函數(shù)解析式求函數(shù)值即可,利用描點法畫出函數(shù)圖象即可.

③觀察函數(shù)圖象,寫出函數(shù)的性質(zhì)即可.

2)①求出A,C,E的坐標,利用待定系數(shù)法判斷即可.

②不存在,首先根據(jù)AE,C確定這個點的坐標,然后取x=0,求出算術中項函數(shù)圖象上的點的坐標驗證即可.

解:(1)①由題意(x4)(﹣x+6≥0,

解得8≤x≤18,

y=,

∵﹣0

x=13時,y有最大值,最大值為

故答案為8≤x≤18,13

x=12時,y==2,

x=16時,y=≈1.7

故答案為2,1.7

函數(shù)圖象如圖所示:

③性質(zhì):8x13時,yx的增大而增大和13x18時,yx的增大而減;

故答案為:8x13時,yx的增大而增大和13x18時,yx的增大而減。ù鸢覆晃ㄒ唬;

2)①由題意E,),A(﹣40),C30),

對于函數(shù)y=

x=時,y=,

∴點E在這個函數(shù)的圖象上,

x=4時,y=0,

∴點A在這個函數(shù)的圖象上,

x=3時,y=0,

∴點C在這個函數(shù)的圖象上.

②不存在,由圖2可知,∵AEEC,

∴∠AEC=90°

A,C,E距離相等的點是AC的中點T(﹣0),這個距離是3.5

∵算術中項函數(shù)圖象上的點P[x,],

PT=

∴存在這樣的點(﹣,0)到此算術中項函數(shù)圖象上所有點的距離相等.

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abc0;②3a+c=0

③當y0時,x的取值范圍是﹣1≤x3;

④方程ax2+bx+c3=0有兩個不相等的實數(shù)根;

⑤點(2,y1),(2,y2)都在拋物線上,則有y10y2

其中結論正確的個數(shù)是(  )

A.1B.2C.3D.4

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1)求該拋物線的解析式;

2P是拋物線上一動點(不與點A、B重合),

①如圖2,若點P在直線AB上方,連接OPAB于點D,求的最大值;

②如圖3,若點Px軸的上方,連接PC,以PC為邊作正方形CPEF,隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點EF恰好落在y軸上,直接寫出對應的點P的坐標.

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①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖乙,線段CE、BD之間的位置關系為,數(shù)量關系為.(不用證明)

②當點D在線段BC的延長線上時,如圖丙,①中的結論是否仍然成立,為什么?

(2) 如果AB≠AC,∠BAC≠90,點D在線段BC上運動.

試探究:當△ABC滿足一個什么條件時,CE⊥BD(點C、E重合除外)?畫出相應的圖形,并說明理由.

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A.5B.C.D.4

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