Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝50cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從C點(diǎn)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)區(qū)從A點(diǎn)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0＜t≤15)，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF.

(1)求證：AE＝DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)能，當(dāng)t＝10時(shí)，AEFD是菱形.

【解析】

（1）根據(jù)兩動(dòng)點(diǎn)的速度與時(shí)間表示出AE，CD，在直角三角形CDF中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半表示出DF即可；

（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD＝AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值．

（1）∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°．

∵CD＝4t，AE＝2t，

又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2t，

∴AE＝DF；

（2）∵DF⊥BC，

∴∠CFD＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠B＝∠CFD，

∴DF∥AB，

由（1）得：DF＝AE＝2t，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

當(dāng)AD＝AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，

即60﹣4t＝2t，

解得：t＝10，

即當(dāng)t＝10時(shí)，AEFD是菱形．