Question

【題目】在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB= ．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB=14，OC= ，AC與y軸交于點E．

（1）求AC所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過點O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；
（3）已知點F（10，0），在△ABC的邊上取兩點P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與△OFP全等，且這兩個三角形在OP的異側(cè)？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE= =2 ，∴點E（0，2 ）．

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+2 ，有 ，解得：k=- ．

∴直線AC的函數(shù)解析式為y=

（2）

解：在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE= = ，

設(shè)EG=3t，OG=5t，OE= = t，∴ ，得t=2，

故EG=6，OG=10，

∴S△OEG=

（3）

解：存在．

①當點Q在AC上時，點Q即為點G，

如圖1，作∠FOQ的角平分線交CE于點P1，

由△OP1F≌△OP1Q，則有P1F⊥x軸，由于點P1在直線AC上，當x=10時，

y=﹣ = ，

∴點P1（10， ）．

②當點Q在AB上時，

如圖2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分線交CE于點P2，

過點Q作QH⊥OB于點H，設(shè)OH=a，

則BH=QH=14﹣a，

在Rt△OQH中，a2+（14﹣a）2=100，

解得：a1=6，a2=8，

∴Q（﹣6，8）或Q（﹣8，6）．

連接QF交OP2于點M．

當Q（﹣6，8）時，則點M（2，4）．

當Q（﹣8，6）時，則點M（1，3）．

設(shè)直線OP2的解析式為y=kx，則

2k=4，k=2．

∴y=2x．

解方程組 ，得 ．

∴P2（ ）；

當Q（﹣8，6）時，則點M（1，3），

同理可求P3（ ）；

如圖4，由QP4∥OF，QP4=OF=10，

設(shè)點P4的橫坐標為x，則點Q的橫坐標為（x﹣10），

∵yQ=yP，直線AB的函數(shù)解析式為：y=x+14，

∴x﹣10+14=﹣ x+2 ，

解得：x= ，可得y= ，

∴點P4（ ， ），

③當Q在BC邊上時，如圖5，OQ=OF=10，點P5在E點，

∴P5（0，2 ），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（10， ）或（ ）或（ ）或（0，2 ），（ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)三角函數(shù)求E點坐標，運用待定系數(shù)法求解；（2）在Rt△OGE中，運用三角函數(shù)和勾股定理求EG，OG的長度，再計算面積；（3）分兩種情況討論求解：①點Q在AC上；②點Q在AB上③當Q在BC邊上時．求直線OP與直線AC的交點坐標即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．