Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E，
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，可以證明四邊形ADCE為矩形．
（2）根據(jù)正方形的判定，我們可以假設(shè)當(dāng)AD=

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BC，由已知可得，DC=

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2

BC，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．

解答：（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=

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×180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．

（2）當(dāng)△ABC滿足∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四邊形ADCE為矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形．

點(diǎn)評：本題是以開放型試題，主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．