Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE且交AG于點(diǎn)F．
（1）求證：AE=BF；
（2）如圖1，連接DF、CE，探究線段DF與CE的關(guān)系并證明；
（3）如圖2，若AB= ，G為CB中點(diǎn)，連接CF，直接寫出四邊形CDEF的面積為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE且交AG于點(diǎn)F，

∴BF⊥AG于點(diǎn)F，

∴∠AED=∠BFA=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAF+∠EAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△AFB和△DEA中，

，

∴△AFB≌△DEA（AAS），

∴BF=AE

（2）證明：DF=CE且DF⊥CE．

理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，

∴∠FAD=∠EDC，

∵△AFB≌△DEA，

∴AF=DE，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，

在△FAD和△EDC中，

，

∴△FAD≌△EDC（SAS），

∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，

∴∠DCE+∠CDF=90°，

∴DF⊥CE

（3）3
【解析】（3）∵AB= ，G為CB中點(diǎn)， ∴BG= BC= ，
由勾股定理得，AG= = = ，
∵S△ABG= AGBF= ABBG，
∴ × BF= × × ，
解得BF= ，
由勾股定理得，AF= = = ，
∵△AFB≌△DEA，
∴AE=BF= ，
∴AE=EF= ，
∴DE垂直平分AF，
∴DF=AD= ，
由（2）知，DF=CE且DF⊥CE，
∴四邊形CDEF的面積= DFCE= × × =3．
所以答案是：3．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．