Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在軸上，其坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

求該拋物線的解析式.

連接，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，當(dāng)的周長最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和周長的最大值.

若點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)構(gòu)成菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(2,)；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或.

【解析】

⑴ 代入A、B點(diǎn)坐標(biāo)得出拋物線的交點(diǎn)式y=a（x+4）（x-2），然后代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求出；

⑵ 首先根據(jù)勾股定理可以求出AC=5，通過PE∥y軸，得到△PED∽△AOC，PD:AO=DE:OC=PE:AC,得到PD:4=DE:3=PE:5，PD,DE分別用PE表示，可得△PDE的周長=PE，要使△PDE周長最大，PE取最大值即可；設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，那么縱坐標(biāo)為a2+a-3，根據(jù)E點(diǎn)在AC所在的直線上，求出解析式，那么E點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，縱坐標(biāo)-a-3，從而求出PE含a的二次函數(shù)式，求出PE最大值，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)及△PDE周長.

⑶ 分類討論

① 當(dāng)BM為對(duì)角線時(shí)點(diǎn)F在y軸上，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)F的坐標(biāo).

② 當(dāng)BM為邊時(shí)，BC也為邊時(shí)，求出BC長直接可以寫出F點(diǎn)坐標(biāo)，分別是點(diǎn)M在軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為;點(diǎn)M在軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為.

③ 當(dāng)BM為邊時(shí)，BC也為對(duì)角線時(shí)，首先求出BC所在直線的解析式

，然后求出BC中點(diǎn)的坐標(biāo)，MF所在直線也經(jīng)過這點(diǎn)并且與BC所在的直線垂直，所以可以求出MF所在直線的解析式，可以求出M點(diǎn)坐標(biāo)，求出F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入MF解析式求出縱坐標(biāo)，得到F

解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別為，

故設(shè)其解析式為.

又拋物線經(jīng)過點(diǎn)，代入解得，

則拋物線的解析式為.

，

.

.

又軸，，

∴△PDE∽△AOC.

，即，

∴的周長

則要使周長最大，取最大值即可.

易得所在直線的解析式為.

設(shè)點(diǎn)，

則，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，則.

點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或

提示：具體分情況進(jìn)行討論，如圖.

① 為對(duì)角線時(shí)，顯然，點(diǎn)在軸上，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)的坐標(biāo)為;

②當(dāng)為邊時(shí)，，則有以下幾種情況：

(I)為邊時(shí)，

點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為;

點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(I) 為對(duì)角線時(shí)，

根據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)可得所在直線的解析式為

中點(diǎn)的坐標(biāo)為

則MF所在的直線過線段的中點(diǎn)，并垂直于，得到其解析式為.

交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入的解析式得到，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或