【題目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的動點(不與A,B重合),過M點作MN∥BC交AC于點N.以MN為直徑作⊙O,并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN.令A(yù)M=x.

(1)用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S;
(2)當(dāng)x為何值時,⊙O與直線BC相切;
(3)在動點M的運動過程中,記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求x為何值時,y的值最大,最大值是多少?

【答案】
(1)

解:∵M(jìn)N∥BC,

∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.

∴△AMN∽△ABC.

,即 ;

∴AN= x;

∴S=SMNP=SAMN= xx= x2.(0<x<4)


(2)

解:如圖2,設(shè)直線BC與⊙O相切于點D,連接AO,OD,則AO=OD= MN.

在Rt△ABC中,BC= =5;

由(1)知△AMN∽△ABC,

,即 ,

∴MN= x

∴OD= x,

過M點作MQ⊥BC于Q,則MQ=OD= x,

在Rt△BMQ與Rt△BCA中,∠B是公共角,

∴△BMQ∽△BCA,

∴BM= x,AB=BM+MA= x+x=4

∴x=

∴當(dāng)x= 時,⊙O與直線BC相切


(3)

解:隨點M的運動,當(dāng)P點落在直線BC上時,連接AP,則O點為AP的中點.

∵M(jìn)N∥BC,

∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB,

∴△AMO∽△ABP,

,

∵AM=MB=2,

故以下分兩種情況討論:

①當(dāng)0<x≤2時,y=SPMN= x2

∴當(dāng)x=2時,y最大= ×4= ,

②當(dāng)2<x<4時,設(shè)PM,PN分別交BC于E,F(xiàn),

∵四邊形AMPN是矩形,

∴PN∥AM,PN=M=x,

又∵M(jìn)N∥BC,

∴四邊形MBFN是平行四邊形;

∴FN=BM=4﹣x,

∴PF=x﹣(4﹣x)=2x﹣4,

又∵△PEF∽△ACB,

∴SPEF= (x﹣2)2;

y=SMNP﹣SPEF= x2 (x﹣2)2=﹣ x2+6x﹣6,

當(dāng)2<x<4時,y=﹣ x2+6x﹣6=﹣ (x﹣ 2+2,

∴當(dāng)x= 時,滿足2<x<4,y最大=2.

綜上所述,當(dāng)x= 時,y值最大,最大值是2


【解析】(1)由于三角形PMN和AMN的面積相當(dāng),那么可通過求三角形AMN的面積來得出三角形PMN的面積,求三角形AMN的面積可根據(jù)三角形AMN和ABC相似,根據(jù)相似比的平方等于面積比來得出三角形AMN的面積;(2)當(dāng)圓O與BC相切時,O到BC的距離就是MN的一半,那么關(guān)鍵是求出MN的表達(dá)式,可根據(jù)三角形AMN和三角形ABC相似,得出MN的表達(dá)式,也就求出了O到BC的距離的表達(dá)式,如果過M作MQ⊥BC于Q,那么MQ就是O到BC的距離,然后在直角三角形BMQ中,用∠B的正弦函數(shù)以及BM的表達(dá)式表示出MQ,然后讓這兩表示MQ的含x的表達(dá)式相等,即可求出x的值;(3)要求重合部分的面積首先看P點在三角形ABC內(nèi)部還是外面,因此可先得出這兩種情況的分界線即當(dāng)P落到BC上時,x的取值,那么P落點BC上時,MN就是三角形ABC的中位線,此時AM=2,因此可分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)0<x≤2時,此時重合部分的面積就是三角形PMN的面積,三角形PMN的面積(1)中已經(jīng)求出,即可的x,y的函數(shù)關(guān)系式.②當(dāng)2<x<4時,如果設(shè)PM,PN交BC于E,F(xiàn),那么重合部分就是四邊形MEFN,可通過三角形PMN的面積﹣三角形PEF的面積來求重合部分的面積.不難得出PN=AM=x,而四邊形BMNF又是個平行四邊形,可得出FN=BM,也就有了FN的表達(dá)式,就可以求出PF的表達(dá)式,然后參照(1)的方法可求出三角形PEF的面積,即可求出四邊形MEFN的面積,也就得出了y,x的函數(shù)關(guān)系式.然后根據(jù)兩種情況得出的函數(shù)的性質(zhì),以及對應(yīng)的自變量的取值范圍求出y的最大值即可.

練習(xí)冊系列答案
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(2)小明家距小彬家多遠(yuǎn)?

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進(jìn)價(元/只)

售價(元/只)

甲種節(jié)能燈

30

40

甲種節(jié)能燈

35

50

(1)求幸福商場甲、乙兩種節(jié)能燈各購進(jìn)了多少只?

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A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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