Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC="3" ，tan∠BAC=，將∠ABC對(duì)折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線(xiàn)AB上，折痕交AC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系

（1）求過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式；
（2）若在線(xiàn)段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于M，設(shè)PM的長(zhǎng)度等于d，試探究d有無(wú)最大值，如果有，請(qǐng)求出最大值，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若在拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)E，在對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)F，且以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）y=；（2）當(dāng)t=時(shí)，d有最大值，最大值為2；（3）

試題分析：（1）在Rt△ABC 中，根據(jù)∠BAC的正切函數(shù)可求得AC=4，再根據(jù)勾股定理求得AB，設(shè)OC=m，連接OH由對(duì)稱(chēng)性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，即得AH=AB-BH=2，OA=4-m．在Rt△AOH 中，根據(jù)勾股定理可求得m的值，即可得到點(diǎn)O、A、B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可設(shè)過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為：y=ax（x-），再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AB的解析式，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（t，），則M（t，），先表示出d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)y=的頂點(diǎn)為D，先求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，A、O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)．分AO為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AO為平行四邊形的邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可.
（1）在Rt△ABC 中，∵BC="3" ，tan∠BAC=，
∴AC=4．
∴AB=．
設(shè)OC=m，連接OH

由對(duì)稱(chēng)性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．
∴在Rt△AOH 中， OH²+AH²=OA²，即m²+2²=(4-m)²，得 m=．
∴OC=，OA=AC－OC=，
∴O（0，0） A（，0），B（-，3）．
設(shè)過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為：y=ax（x-）．
把x=，y=3代入解析式，得a=．
∴y=x（x-）=．
即過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=．
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得
，解之得，．
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=． 
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（t，），則M（t，）． 
∴d=（）—（）=—=
∴當(dāng)t=時(shí)，d有最大值，最大值為2．
（3）設(shè)拋物線(xiàn)y=的頂點(diǎn)為D．
∵y==，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=，頂點(diǎn)D（，-）．
根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，A、O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)．
當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D以及點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)F與A、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形一定是平行四邊形．這時(shí)點(diǎn)D即為點(diǎn)E，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（）．
當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，由OA=，知拋物線(xiàn)存在點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為或，即或，
分別把x=和x=代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=中，得點(diǎn)E（，）或E（-，）．
所以在拋物線(xiàn)上存在三個(gè)點(diǎn)：E₁（，-），E₂（，），E₃（-，），使以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．