Question

【題目】問題背景：如圖1，在中，，，，四邊形是正方形，求圖中陰影部分的面積．

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖，小芳發(fā)現(xiàn)，只要將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度到達(dá)，就能將陰影部分轉(zhuǎn)化到一個三角形里，從而輕松解答.根據(jù)小芳的發(fā)現(xiàn)，可求出圖1中陰影部分的面積為______；（直接寫出答案）

（2）應(yīng)用：如圖，在四邊形中，，，于點，若四邊形的面積為，試求出的長；

（3）拓展：如圖，在四邊形中，，，，以為頂點作為角，角的兩邊分別交，于，兩點，連接，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）；（3）．

【解析】

（1）由題意根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及運用等量代換得出，進(jìn)而得出的面積即陰影部分的面積；

（2）由題意把繞點旋轉(zhuǎn)到處，使與重合，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行等量代換得出，進(jìn)而進(jìn)行分析即可；

（3）根據(jù)題意延長AC到G，使CG=BE，并構(gòu)造全等三角形，運用全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行分析即可 ．

解：（1）∵繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度到達(dá)，

∴，

∵四邊形是正方形，，

∴等量代換可知，

∵，，

∴陰影部分的面積即的面積為：.

（2）如圖，把繞點旋轉(zhuǎn)到處，使與重合，可得.

，

，

即，、、三點共線.

又，四個角都為，

四邊形是正方形，易得.

，即.

（3）線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+CF.

理由：如圖，延長AC到G，使CG=BE，

∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，

∴∠B=∠DCG，

在△DBE和△DCG中，

，

∴△DBE≌△DCG（SAS），

∴DE=DG，∠BDE=∠CDG，

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，

∴∠BDE+∠CDF=60°，

∴∠CDG+∠CDF=60°，

∴∠EDF=∠GDF，

在△EDF和△GDF中，

，

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF=GF，

∵GF=CG+CF，

∴GF=BE+CF，

∴EF=BE+CF．