【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3a過點A(﹣1,0).
(1)求拋物線的對稱軸;
(2)直線y=x+4與y軸交于點B,與該拋物線對稱軸交于點C.如果該拋物線與線段BC有交點,結(jié)合函數(shù)的圖象,求a的取值范圍.
【答案】(1)拋物線的對稱軸為x=﹣2;(2)a≥或a≤﹣2.
【解析】
(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征代入點A的坐標(biāo),得出b=4a,則解析式為y=ax2+4ax+3a,進一步求得拋物線的對稱軸;
(2)結(jié)合圖形,分兩種情況:①a>0;②a<0;進行討論即可求解.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+3a過點A(﹣1,0),
∴a﹣b+3a=0,
∴b=4a,
∴拋物線的解析式為y=ax2+4ax+3a,
∴拋物線的對稱軸為x=﹣=﹣2;
(2)∵直線y=x+4與y軸交于點B,與該拋物線對稱軸交于點C,
∴B(0,4),C(﹣2,2),
∵拋物線y=ax2+bx+3a經(jīng)過點A(﹣1,0)且對稱軸x=﹣2,
由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過A的對稱點(﹣3,0),
①a>0時,如圖1,
將x=0代入拋物線得y=3a,
∵拋物線與線段BC恰有一個公共點,
∴3a≥4,
解得a≥,
②a<0時,如圖2,
將x=﹣2代入拋物線得y=﹣a,
∵拋物線與線段BC恰有一個公共點,
∴﹣a≥2,
解得a≤﹣2;
綜上所述,a≥或a≤﹣2.
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【題目】如圖,△OAB的頂點坐標(biāo)分別為O(0,0)、A(3,2)、B(2,0),將這三個頂點的坐標(biāo)同時擴大到原來的2倍,得到對應(yīng)點D、E、F.
(1)在圖中畫出△DEF;
(2)點E是否在直線OA上?為什么?
(3)△OAB與△DEF______位似圖形(填“是”或“不是”)
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【題目】已知△ABC和△CDE都為等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°.
探究:如圖①,當(dāng)點A在邊EC上,點C在線段BD上時,連結(jié)BE、AD.求證:BE=AD,BE⊥AD.
拓展:如圖②,當(dāng)點A在邊DE上時,AB、CE交于點F,連結(jié)BE.若AE=2,AD=4,則的值為 .
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【題目】如圖,C、D是以AB為直徑的⊙O上的點,,弦CD交AB于點E.
(1)當(dāng)PB是⊙O的切線時,求證:∠PBD=∠DAB;
(2)求證:BC2﹣CE2=CEDE;
(3)已知OA=4,E是半徑OA的中點,求線段DE的長.
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【題目】如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格,△A1B1C1的頂點均在格點上.
(1)在該網(wǎng)格中畫出△A2B2C2(頂點均在格點上),使△A2B2C2∽△A1B1C1;
(2)請寫出(1)中作圖的主要步驟,并說明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依據(jù).
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=ax+b的圖象交于M(2,m)和N(-1,-4)兩點.
(1)求這兩個函數(shù)的解析式;
(2)求△MON的面積;
(3)請判斷點P(4,1)是否在這個反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由.
(4)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍.
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0),且經(jīng)過直線y=x-2與x軸的交點B及與y軸的交點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線的頂點坐標(biāo);
(3)若點M在第四象限內(nèi)的拋物線上,且tan∠MOC=1,求M點的坐標(biāo)及四邊形OBMC面積.
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【題目】函數(shù)y1=x(x≥0),y2=(x>0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為A(2,2);
②當(dāng)x>2時,y2>y1;
③直線x=1分別與兩個函數(shù)圖象相交于B,C兩點,則線段BC的長為3;
④當(dāng)x逐漸增大時,y1的值隨x的增大而增大,y2的值隨x的增大而減少,其中正確的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④
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【題目】已知是平面直角坐標(biāo)中的一點,點是軸負半軸上一動點,聯(lián)結(jié),并以為邊在軸上方作矩形,且滿足,設(shè)點的橫坐標(biāo)是,如果用含的代數(shù)式表示點的坐標(biāo),那么點的坐標(biāo)是_____.
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