Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A(-3,0)，B(0,1)，C(m,n)。

(1)請直接寫出C點坐標。

(2)將△ABC 沿x軸的正方向平移t個單位，、兩點的對應點、正好落在反比例函數在第一象限內圖象上。請求出t，k的值。

(3)在(2)的條件下，問是否存x軸上的點M和反比例函數圖象上的點N，使得以、、M、N為頂點的四邊形構成平行四邊形?如果存在，請求出所有滿足條件的點M和點N的坐標；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（－4，3）；（2），；（3）存在，M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（－7，0），N（－3，2）

【解析】

（1）由在平面直角坐標系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可證得△ADC≌△BOA，繼而求得C點坐標；
（2）首先設向右平移了t個單位長度，則點B′的坐標為（t，1）、C′的坐標為（t-4，3），由B′、C′正好落在某反比例函數圖象上，即可得t=3（t-4），繼而求得m的值，則可求得各點的坐標，于是得到結論；
（3）如圖2，當MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時，如圖3，當MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，如圖4，當MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，根據中點坐標公式即可得到結論．

（1）如圖1，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠ADC=∠AOB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵Rt△ABC，∠A=90°，
∴∠DAC+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ADC和△BOA中，
，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=4，
∴C點坐標為：（-4，3）；
（2）設向右平移了t個單位長度，則點B′的坐標為（t，1）、C′的坐標為（t-4，3），

∵B′、C′正好落在某反比例函數圖象上，
∴t=3（t-4），
解得：t=6，
∴B′（6，1），C′（2，3），
∴k=6，
∴反比例函數的解析式為：y= ；
（3）存在，如圖2，當MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時，

由平行四邊形的對角線互相平分，可知B′C′，MN的中點為同一個點，
即,

∴yN=4代入y=得xN=1.5，
∴N（1.5，4）；
∵,

∴xM=6.5，
∴M（6.5，0）；
如圖3，當MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，同理可得M（7，0），N（3，2）；
如圖4，當MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，同理可得M（-7，0），N（-3，2）；
綜上所述：存在M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（-7，0），N（-3，2），使得以B′、C′，M，N為頂點的四邊形構成平行四邊形．