【題目】通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達(dá)到解一題知一類(lèi)的目的.下面是一個(gè)案例.
原題:如圖①,點(diǎn) 分別在正方形 的邊 上, ,連接 ,則 ,試說(shuō)明理由.

(1)思路梳理
因?yàn)? ,所以把 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至 ,可使 重合.因?yàn)? ,所以 ,點(diǎn) 共線.
根據(jù) , 易證 , 得 .請(qǐng)證明.
(2)類(lèi)比引申
如圖②,四邊形 中, , ,點(diǎn) 分別在邊 上, .若 都不是直角,則當(dāng) 滿足等量關(guān)系時(shí), 仍然成立,請(qǐng)證明.

(3)聯(lián)想拓展
如圖③,在 中, ,點(diǎn) 均在邊 上,且 .猜想 應(yīng)滿足的等量關(guān)系,并寫(xiě)出證明過(guò)程.

【答案】
(1)SAS;△AFE
(2)解:∠B+∠D=180°時(shí),EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線,在△AFE和△AFG中,
∵AE=AG,∠FAE=∠FAG,AF=AF,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,即:EF=BE+DF.

(3)解:猜想:DE2=BD2+EC2 , 理由如下:
根據(jù)ΔABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔACD′,如圖,連接ED′.

∴ΔABDΔACD′.
∴CD′=BD,AD′=AD,∠B=∠ACD′,∠BAD=∠D′ AC.
在RtΔABC中,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∴∠ACB+∠ACD′=90°,即∠D′ CE=90°,
∴D’C2+CE2=D′E2
又∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°.
∴∠D′AC+∠EAC=45°,即∠D′ AE=45°.∴ΔAD′ EΔADE,∴ED=ED′,
∴DE2=BD2+EC2
【解析】(1)解:∵AB=AD,∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,∴∠BAE=∠DAG,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠EAF=∠FAG,∵∠ADC=∠B=90°,∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線,在△AFE和△AFG中,∵AE=AG,∠EAF=∠FAG,AF=AF,∴△AFE≌△AFG(SAS),∴EF=FG,即:EF=BE+DF
(1)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,再證明△AFG≌△AFE進(jìn)而得到EF=FG,即可得EF=BE+DF。
(2)∠B+∠D=180°時(shí),EF=BE+DF,與(1)的證法類(lèi)同。
(3)根據(jù)△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,根據(jù)Rt△ABC中的,AB=AC得到∠E′BD=90°,所以E′B2+BD2=E′D2 , 證△AE′D≌△AED,利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2。

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