【題目】如圖,△OAB的一邊OB在x軸的正半軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,8),OA=OB,點(diǎn)P在線段OB上,點(diǎn)Q在y軸的正半軸上,OP=2OQ,過(guò)點(diǎn)Q作x軸的平行線分別交OA,AB于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求直線AB的解析式;
(2)若四邊形POEF是平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)是否存在點(diǎn)P,使△PEF為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵A(6,8),∴OA= =10,
∴OB=OA=10,即B(10,0),
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,
把A與B坐標(biāo)代入得: ,
解得:k=﹣2,b=20.
則直線AB解析式為y=﹣2x+20
(2)
解:由A(6,8),得到直線OA解析式為y= x,
設(shè)OQ=t,則有OP=2OQ=2t,
把y=t代入y= x得:x= t;代入y=﹣2x+20得:x=10﹣ t,
∴E( t,t),F(xiàn)(10﹣ t,t),
∴EF=10﹣ t﹣ t=10﹣ t,
若四邊形POEF為平行四邊形,則有EF=OP,即10﹣ t=2t,
解得:t=
(3)
解:分三種情況考慮:
若∠PEF=90°,則有 t=2t,無(wú)解,不可能;
若∠PFE=90°,則有10﹣ =2t,解得:t=4,此時(shí)OP=8,即P(8,0);
若∠EPF=90°,過(guò)E、F分別作x軸垂線,垂足分別為G、H,
∴Rt△EGP∽R(shí)t△PHF,
∴ = ,即 = ,
解得:t= ,此時(shí)P= ,即P( ,0).
綜上,P的坐標(biāo)為(8,0)或( ,0)
【解析】(1)由A坐標(biāo)確定出OA的長(zhǎng),即為OB的長(zhǎng),確定出B坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式即可;(2)由A坐標(biāo)確定出直線OA解析式,設(shè)OQ=t,則有OP=2t,表示出E與F坐標(biāo),進(jìn)而表示出EF長(zhǎng),由四邊形POEF為平行四邊形,得到EF=OP,求出t的值,即可確定出P坐標(biāo);(3)分三種情況考慮:若∠PEF=90°;若∠PFE=90°;若∠EPF=90°,過(guò)E、F分別作x軸垂線,垂足分別為G、H,分別求出t的值,確定出滿足題意P坐標(biāo)即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法),還要掌握平行四邊形的性質(zhì)(平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線互相平分)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b(a>b).在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE.則EF等于( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將邊長(zhǎng)為2的正方形OABC如圖放置,O為原點(diǎn).若∠α=15°,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(單位:s),四邊形PBDQ的面積為y(單位:cm2),則y與x(0≤x≤8)之間函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)在拋物線上有一點(diǎn)P,滿足S△AOP=1,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō):“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們稱之為“飲馬問(wèn)題”.如圖1所示,詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),走到河旁邊的C點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短?某課題組在探究這一問(wèn)題時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型:
直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B,在直線l上存在點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小.
解法:作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B,則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P,且PA+PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng).
(1)根據(jù)上面的描述,在備用圖中畫出解決“飲馬問(wèn)題”的圖形;
(2)利用軸對(duì)稱作圖解決“飲馬問(wèn)題”的依據(jù)是 .
(3)應(yīng)用:①如圖2,已知∠AOB=30°,其內(nèi)部有一點(diǎn)P,OP=12,在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)O),使△PCD的周長(zhǎng)最小,請(qǐng)畫出草圖,并求出△PCD周長(zhǎng)的最小值;
②如圖3,點(diǎn)A(4,2),點(diǎn)B(1,6)在第一象限,在x軸、y軸上是否存在點(diǎn)D、點(diǎn)C,使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最?若存在,請(qǐng)畫出草圖,并求其最小周長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠CAB=65°,在同一平面內(nèi),將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AED的位置,使得DC∥AB,則∠BAE等于( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)P在直線y=x上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)P為圓心,PA的長(zhǎng)為半徑的圓的面積最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.(1,﹣1)
B.(0,0)
C.(1,1)
D.( , )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△AB′C′,若∠BAC=90°,AB=AC= ,則圖中陰影部分的面積等于 .
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