Question

【題目】如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，)，與y軸交于點(diǎn)A．過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)C是第四象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，且AE＝AD，直線CE交拋物線y＝ax2+bx+4于點(diǎn)F．

①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，連接OD、ED，當(dāng)∠ODE＝∠CDG時(shí)，求直線DG的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①F(4，6)；②

【解析】

（1）首先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)可設(shè)出該拋物線的頂點(diǎn)式為，據(jù)此進(jìn)一步將其化為一般式，利用其常數(shù)項(xiàng)為4得出關(guān)于a的方程，最后進(jìn)一步分析求解即可；

（2）①設(shè)C（m，），由此分析得出E（0，4m），接著求出CE的解析式，然后進(jìn)一步得出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，據(jù)此根據(jù)拋物線解析式進(jìn)一步求解即可得出答案；②如圖，過(guò)E作EH⊥CD于H，交DG于Q，連接OQ，證明四邊形AEHD是正方形求出∠ODQ，進(jìn)一步證明，，，由此表示出OE，EQ，OQ的長(zhǎng)，在中，由勾股定理得：，據(jù)此列方程得出m的值，確定D和Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法進(jìn)一步求解即可得出答案．

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），

∴設(shè)該拋物線頂點(diǎn)式為，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為；

（2）如圖1，設(shè)C（m，）；

∵AD＝AE，AD∥x軸，CD∥y軸，

∴AD＝AE＝m，

∵OA＝4，

∴OE＝m4，

∵點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，

∴E（0，4m），

設(shè)CE的解析式為：，

則，

解得，

∴CE的解析式為：，

∴

∴

∴化簡(jiǎn)變形可得：，

∴，，

即點(diǎn)F橫坐標(biāo)為4，

∴縱坐標(biāo)為：，

∴定點(diǎn)F（4，6）；

②如圖2，過(guò)E作EH⊥CD于H，交DG于Q，連接OQ，

由①知：OE＝m4，

∵∠DAE＝∠ADH＝∠EHD＝90°，AD＝AE，

∴四邊形AEHD是正方形，

∴∠EDH＝45°，AD＝AE＝DH＝EH，

∵∠ODE＝∠CDG，

∴∠ODE+∠EDQ＝∠EDQ+∠CDG＝45°，

即∠ODQ＝45°，

∴∠ADO+∠CDG＝45°，

在OA的延長(zhǎng)線上取AP＝QH，連接PD，

∵∠PAD＝∠QHD＝90°，AD＝DH，

∴，

∴PD＝DQ，∠ADP＝∠CDG，AP＝QH，

∴∠ADP+∠ADO＝45°＝∠ODQ，

∵OD＝OD，

∴，

∴OP＝OQ，

∵EH＝DH，∠EHC＝∠DHQ，∠GEH＝∠CDG，

∴，

∴CH＝QH＝＝AP，

∴OQ＝OP＝，

∵OE＝m4，EQ＝EHQH＝＝，

在中，由勾股定理得：，

∴，

∴，

解得：（舍去），，（舍去），

∴D（12，4），Q（6，8），

設(shè)直線DG的解析式為：，

則，

解得：，

∴直線DG的解析式為：.