Question

【題目】如圖，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，現(xiàn)以D為頂點作一個60°角，使角兩邊分別交AB，AC邊所在直線于M，N兩點，連接MN，探究線段BM、MN、NC之間的關系，并加以證明．

（1）如圖1，若∠MDN的兩邊分別交AB，AC邊于M，N兩點．猜想：BM+NC=MN．延長AC到點E，使CE=BM，連接DE，再證明兩次三角形全等可證．請你按照該思路寫出完整的證明過程；

（2）如圖2，若點M、N分別是AB、CA的延長線上的一點，其它條件不變，再探究線段BM，MN，NC之間的關系，請直接寫出你的猜想（不用證明）．

Answer 1

【答案】（1）過程見解析；（2）MN= NC﹣BM．

【解析】

（1）延長AC至E，使得CE=BM并連接DE，根據(jù)△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，可以證得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根據(jù)∠MDN =60°，∠BDC=120°，可證∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，進而得到MN=BM+NC．
（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的證明方法，先證△BMD≌△CED（SAS），再證△MDN≌△EDN（SAS），即可得出結論．

解：（1）如圖示，延長AC至E，使得CE=BM，并連接DE．

∵△BDC為等腰三角形，△ABC為等邊三角形，

∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，

又BD=DC，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，

∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD與△ECD中，

∵ ，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，

即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△DMN與△DEN中，

∵ ，

∴△DMN≌△DEN（SAS），

∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．

（2）如圖②中，結論：MN=NC﹣BM．

理由：在CA上截取CE=BM．

∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD，∠BDC=120°，

∴∠BCD=∠CBD=30°，

∴∠MBD=∠DCE=90°，

在△BMD和△CED中

∵ ，

∴△BMD≌△CED（SAS），

∴DM= DE，∠BDM=∠CDE

∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，

∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

即：∠MDN =∠NDE=60°，

在△MDN和△EDN中

∵ ，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．