Question

【題目】定義：如果一個 與 的函數(shù)圖像經(jīng)過平移后能與某反比例函數(shù)的圖像重合，那么稱這個函數(shù)是 與 的“反比例平移函數(shù)”．
例如: 的圖像向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到 的圖像，則 是 與 的“反比例平移函數(shù)”．
（1）若矩形的兩邊分別是2cm、3cm，當(dāng)這兩邊分別增加 cm、 cm后，得到的新矩形的面積為8 ，求 與 的函數(shù)表達(dá)式，并判斷這個函數(shù)是否為“反比例平移函數(shù)”．
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標(biāo)分別為(9，0)、(0，3) ．點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，“反比例平移函數(shù)” 的圖像經(jīng)過B、E兩點．則這個“反比例平移函數(shù)”的表達(dá)式為；這個“反比例平移函數(shù)”的圖像經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q與某一個反比例函數(shù)的圖像重合，請寫出這個反比例函數(shù)的表達(dá)式 ．

（3）在（2）的條件下， 已知過線段BE中點的一條直線 交這個“反比例平移函數(shù)”圖像于P、Q兩點(P在Q的右側(cè))，若B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請求出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解： ，

∴

向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到 ．

∴ 是“反比例平移函數(shù)”．

（2）；
（3）

解：如圖，

當(dāng)點 在點 左側(cè)時，設(shè)線段 的中點為 ，由反比例函數(shù)中心對稱性，四邊形 為平行四邊形，

由B（9,3）得直線OB為y= x.

由D（3,0）,C(0，3)，設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n,

則解得，

所以直線CD的解析式為y=x+3.

聯(lián)立解得

所以E（3,1）.

則F（），即（6,2）.

∵四邊形 的面積為16，

∴ =4，

∵ B (9,3)， F (6,2)，E (3，1)

是 的 “反比例平移函數(shù)”，

∴ 點B平移后與E重合，點F平移后與點O重合，點P平移后與點P1重合，

∴ = =4，

過 P1，E分別作 軸的垂線，與 分別交于 、 點.

= + - =S梯形MNE

設(shè) ，

∴

即

∴ .

∴ (1，3)，∴點 的坐標(biāo)為（7，5）.

當(dāng)點 在點 右側(cè)時，同理可得點 的坐標(biāo)為（15， ）.

【解析】解：（2）由A、C的坐標(biāo)分別為(9，0)、(0，3)，可得B（9,3）
因為D是OA的中點，則D（,0），
由B（9,3）和D（3,0）代入y= ， 得
解得
則y= ，
由圖像y==向左平移6個單位長度，再向下平移2個單位長度得y=.
所以答案是y=；y=.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質(zhì):當(dāng)k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當(dāng)k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大．