【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分線,∠ABC的平分線BM交AE于點M,點O在AB上,以點O為圓心,OB的長為半徑的圓經(jīng)過點M,交BC于點G,交AB于點F.
(1)求證:AE為⊙O的切線;
(2)當BC=4,AC=6時,求⊙O的半徑;
(3)在(2)的條件下,求線段BG的長.

【答案】
(1)證明:連接OM,如圖1,

∵BM是∠ABC的平分線,

∴∠OBM=∠CBM,

∵OB=OM,

∴∠OBM=∠OMB,

∴∠CBM=∠OMB,

∴OM∥BC,

∵AB=AC,AE是∠BAC的平分線,

∴AE⊥BC,

∴OM⊥AE,

∴AE為⊙O的切線


(2)解:設⊙O的半徑為r,

∵AB=AC=6,AE是∠BAC的平分線,

∴BE=CE= BC=2,

∵OM∥BE,

∴△AOM∽△ABE,

= ,即 = ,解得r= ,

即設⊙O的半徑為


(3)解:作OH⊥BE于H,如圖,

∵OM⊥EM,ME⊥BE,

∴四邊形OHEM為矩形,

∴HE=OM= ,

∴BH=BE﹣HE=2﹣ =

∵OH⊥BG,

∴BH=HG= ,

∴BG=2BH=1.


【解析】(1)連接OM,如圖1,先證明OM∥BC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷AE⊥BC,則OM⊥AE,然后根據(jù)切線的判定定理得到AE為⊙O的切線;(2)設⊙O的半徑為r,利用等腰三角形的性質(zhì)得到BE=CE= BC=2,再證明△AOM∽△ABE,則利用相似比得到 = ,然后解關于r的方程即可;(3)作OH⊥BE于H,如圖,易得四邊形OHEM為矩形,則HE=OM= ,所以BH=BE﹣HE= ,再根據(jù)垂徑定理得到BH=HG= ,所以BG=1.

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方差

中位數(shù)

眾數(shù)

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9

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⑤        ⑥

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