Question

如圖，Rt△AOB是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的三角形紙片，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上OB=

3

，∠BAO=30°，將Rt△AOB折疊，使OB邊落在AB邊上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，折痕為BE．
（1）求點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)O、D、A三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式；
（3）設(shè)直線BE與（2）中二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)F，M為OF中點(diǎn)，N為AF中點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PMN的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠EBA=∠BAO=30°，由此可得∠OBE=30°，在Rt△OBE中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得OE的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．同理可在Rt△OAB中，得到OA、OB的長(zhǎng)，也就得到了A、B的坐標(biāo)，由于D是AB的中點(diǎn)，根據(jù)A、B的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）已知了拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）先求出直線BE的解析式，聯(lián)立拋物線的對(duì)稱(chēng)軸放出，即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出M、N的坐標(biāo)；取點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，M′的坐標(biāo)易求得，即可得到直線M′N(xiāo)的解析式，那么直線M′N(xiāo)和x軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，求出P點(diǎn)后，即可得到PM、PN的值，而MN的長(zhǎng)為OA的一半，即可得到△PMN的最小周長(zhǎng)．

解答：解：（1）據(jù)題意可得∠1=

1

2

∠ABO，OB=BD=

3

，DE=OE，
∵Rt△AOB中，∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，OA=3，AB=2

3

，
∴∠1=30°，A（3，0），B（0，

3

）．
Rt△EOB中，∵tan∠1=

OE

OB

∴

OE

3

=

3

3

∴OE=1，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OA于G，易知D是AB的中點(diǎn)，且A（3，0），B（0，

3

），
則OG=

1

2

OA=1.5，DG=

1

2

OB=

3

2

；
故D（1.5，

3

2

）．

（2）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)x軸上的O、A兩點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）；
據(jù)（1）得A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴x₁=0，x₂=3，
把D點(diǎn)坐標(biāo)（1.5，

3

2

）代入y=a（x-0）（x-3）
得a=-

2 3

9

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

2 3

9

x2+

2 3

3

x．

（3）設(shè)直線BE的解析式為y=k₁x+b₁，把（0，

3

）和（1，0）分別代入y=k₁x+b₁
得：

k1=- 3 b1= 3

，
直線BE的解析式為y=-

3

x+

3

，
∵把x=1.5代入y=-

3

x+

3

得：y=-

3

2

，
F點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，-

3

2

），M點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

4

，-

3

4

），N點(diǎn)坐標(biāo)為（

9

4

，-

3

4

），
M點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為M'（

3

4

，

3

4

），
設(shè)直線M'N的解析式為y=k₂x+b₂，把（

3

4

，

3

4

）和（

9

4

，-

3

4

）分別代入y=k₂x+b₂
得：k2=-

3

3

，b2=

3

2

，
∴直線M'N的解析式為y=-

3

3

x+

3

2

，
把y=0代入y=-

3

3

x+

3

2

得x=

3

2

，
∴x軸上存在點(diǎn)P，使△PMN的周長(zhǎng)最小，P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，0），PM=

( 3 2 - 3 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，PN=

( 3 2 - 9 4 )2+(0- 3 4 )2

=

3

2

，
∴△PMN周長(zhǎng)=

3

2

+

3

2

+

3

2

=

3

2

+

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、三角形中位線定理、平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題等知識(shí)，難度較大．