Question

如圖，Rt△AOB是一張放在平面直角坐標系中的三角形紙片，點O與原點重合，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，OB=2

3

，∠OAB=30°，將Rt△AOB折疊，使OB邊落在AB邊上，點O與點D重合，折痕為BE．
（1）求點E和點D的坐標；
（2）求經(jīng)過O、D、A三點的二次函數(shù)圖象的解析式．

Answer 1

分析：（1）過點D作DF⊥OA，垂足為F，由圖形折疊的性質可知△BOE≌△BDE，在直角三角形OAB中，OB=2

3

，∠OAB=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可計算出A，B兩點的坐標，根據(jù)三角形全等及三角形內角與外角的關系可知∠BEO=60°，BD=

1

2

AB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及三角形中位線定理即可求出D、E兩點的坐標．
（2）由（1）可知A、D兩點的坐標，O為原點，根據(jù)此特點設出二次函數(shù)的解析式，把A、D兩點分別代入即可求出未知數(shù)的值，進而求出其解析式．

解答：解：（1）過點D作DF⊥OA，垂足為F，因為Rt△AOB沿BE折疊時，OB邊落在AB邊上，點O與點D重合，
所以，∠OBE=∠DBE，OB=DB（1分）．
由Rt△AOB中，∠OAB=30°，
得∠ABO=60°，
且OA=OBcot30°=6，
得點A（6，0）（1分）．
在Rt△AOB中，由∠OBE=30°，得OE=2，得點E（2，0）（1分）；
Rt△AOB中，由∠OAB=30°得AB=2OB=2DB，
所以D是AB的中點，
得DF=

1

2

OB=

3

，OF=

1

2

OA=3，
得點D（3，

3

）（2分）．

（2）設經(jīng)過O、D、A三點的二次函數(shù)圖象的解析式為y=ax²+bx．
把A（6，0），D（3，

3

））入y=ax²+bx，
得

36a+6b=0 9a+3b= 3

．（2分）
解得

a=- 3 9 b= 2 3 3

．（2分）
所以，經(jīng)過O、D、A三點的二次函數(shù)圖象的解析式為y=

- 3

9

x²+

2 3

3

x（1分）．

點評：本題綜合考查了圖形折疊及直角三角形的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，難度不大，但有一定的綜合性，是一道好題．