Question

已知拋物線y=mx²-（m-5）x-5（m＞0）與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），與y軸交于點(diǎn)C，且AB=6．
（1）求拋物線和直線BC的解析式；
（2）在給定的直角坐標(biāo)系中，畫出拋物線和直線BC；
（3）若⊙P過(guò)A、B、C三點(diǎn)，求⊙P的半徑；
（4）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，使△MBN被直線BC分成面積比為1：3的兩部分？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題要先依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂、x₁•x₂的值，然后依據(jù)AB=6，即x₂-x₁=6來(lái)求出m的值，進(jìn)而得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．然后根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線和執(zhí)行BC的解析式；
（2）經(jīng)過(guò)選點(diǎn)、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象即可；
（3）根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性可知：圓心P必在拋物線的對(duì)稱軸上，因此可設(shè)出圓心P的縱坐標(biāo)（其橫坐標(biāo)為拋物線對(duì)稱軸的值），然后用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求出PB、PC的長(zhǎng)，因?yàn)镻B、PC均為半徑，因此兩者相等，由此可得出關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)的方程，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）如果設(shè)MN與直線BC相交于E，本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①S_△MEB：S_△ENB=1：3；②S_△MEB：S_△ENB=3：1．
可先根據(jù)直線BC的解析式設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后依據(jù)上面的分析的兩種情況分別可得出一個(gè)關(guān)于E點(diǎn)坐標(biāo)的方程，經(jīng)過(guò)解方程即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得：x₁+x₂=

m-5

m

，x₁•x₂=

-5

m

，x₂-x₁=6
則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，（

m-5

m

）²+

20

m

=36
解得：m₁=1，m₂=-

5

7

．
經(jīng)檢驗(yàn)m=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x-5
或：由mx²-（m-5）x-5=0得，x=1或x=-

5

m

∵m＞0，
∴1-

-5

m

=6，
∴m=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+4x-5
由x²+4x-5=0得x₁=-5，x₂=1
∴A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則

b=-5 k+b=0

∴

b=-5 k=5

∴直線BC的解析式為y=5x-5；

（2）如圖1；

（3）如圖2，由題意，圓心P在AB的中垂線上，即在拋物線y=x²+4x-5的對(duì)稱軸直線x=-2上，
設(shè)P（-2，-h）（h＞0），（6分）
連接PB、PC，則PB²=（1+2）²+h²，PC²=（5-h）²+2²，
由PB²=PC²，
即（1+2）²+h²=（5-h）²+2²，解得h=2．
∴P（-2，-2），
∴⊙P的半徑PB=

(1+2)2+22

=

13

；

（4）如圖3，設(shè)MN交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，t²+4t-5），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，5t-5）．
若S_△MEB：S_△ENB=1：3，則ME：EN=1：3．
∴EN：MN=3：4，
∴t²+4t-5=

4

3

（5t-5）．
解得t₁=1（不合題意舍去），t₂=

5

3

，
∴M（

5

3

，

40

9

）．
若S_△MEB：S_△ENB=3：1，則ME：EN=3：1．
∴EN：MN=1：4，
∴t²+4t-5=4（5t-5）．
解得t₃=1（不合題意舍去），t₄=15，
∴M（15，280）．
∴存在點(diǎn)M，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

5

3

，

40

9

）或（15，280）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的確定、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的外心、圖形的面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，主要考查了學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．