Question

（1998•廣東）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，D是弧AC上任一點(diǎn)，過C作CE∥DA交⊙O于點(diǎn)E，BE、DA的延長線相交于點(diǎn)F，連接BD交AC于點(diǎn)G．
求證：
（1）△BDF是正三角形；
（2）BC²=BG•BF．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到內(nèi)角為60度，再利用同號所對的圓周角相等及兩直線平行同位角相等得到三角形BFD中兩個(gè)角為60度，即可判定出三角形BDF為等邊三角形；
（2）由兩對角相等的兩三角形相似得到三角形ABG與三角形ABD相似，由相似得比例，等量代換即可得證．

解答：證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BAC與∠BEC都對

BC

，∠ACB與∠D都對

AB

，
∴∠BAC=∠BEC=∠ACB=∠D=60°，
∵CE∥DA，
∴∠F=∠BEC=∠D=60°，
∴△BDF為等邊三角形；

（2）∵∠BAG=∠D=60°，∠ABG=∠DBA，
∴△ABG∽△DBA，
∴

AB

DB

=

BG

BA

，即AB²=BG•BD，
∵BC=AB，BF=BD，
∴BC²=BG•BF．

點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．