已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,D是BC的中點,過D作⊙O的切線交AC于E,DE=4,CE=2. 
(1)如圖1,求證:①DE⊥AC;②求⊙O的半徑;
(2)如圖2,若I是△ABD的內(nèi)心,DI的延長線交⊙O于N,求IN的長度.
分析:(1)①如圖1,連接AD.由點D為
BC
的中點,根據(jù)圓周角定理得到∠1=∠2,而∠2=
1
2
∠3,則∠CAB=∠1+∠2=∠3,于是有AE∥OD,有DE⊥OD,即可得到結(jié)論;
②如圖1,連接CD、BD.由旋切角定理得到∠EDC=∠1.利用①中的∠1=∠2得到∠EDC=∠2;則由正弦三角函數(shù)的定義求得AB的長度;
(2)如圖2,連接AN、BN,AI.由三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠1=∠4,∠5=∠6.由圓周角、弧、弦間的關(guān)系易求AN=BN=5
2
,然后由圓周角定理、三角形外角定理證得
AN=IN=5
2
解答:(1)①證明:如圖1,連接AD.
∵點D為
BC
的中點,
∴∠1=∠2.
∵∠2=
1
2
∠3,
∴∠1+∠2=∠3,即∠CAB=∠3,
∴AE∥OD.
又∵DE是⊙O的切線,OD是半徑,
∴DE⊥OD,
∴DE⊥AC;
②解:∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°.
由①知,DE⊥AC,
∴∠E=90°.
∵DE=4,CE=2,
∴根據(jù)勾股定理求得CD=
CE2+ED2
=2
5

∵點D為
BC
的中點,
∴BD=CD=2
5

∵DE是⊙O的切線,
∴∠EDC=∠1.
∴利用①中的∠1=∠2得到∠EDC=∠2,
∴∠EDC=∠2,
∴sin∠EDC=sin∠2,即
CE
CD
=
BD
AB
,
2
2
5
=
2
5
AB
,則AB=10,
故⊙O的半徑為5;

(2)解:如圖2,連接AN、BN,AI.
∵I是△ABD的內(nèi)心,
∴∠1=∠4,∠5=∠6.
AN
=
BN

∴AN=BN,∠1=∠2.
∴∠2=∠4.
∵AB是直徑,且AB=10,
∴∠ANB=90°,
∴AN=BN=5
2

∵∠3=∠4+∠5=∠2+∠6,即∠AIN=∠IAN,
∴IN=AN=5
2
點評:本題考查的是圓周角定理、等腰直角三角形、圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出等腰三角形是解答(2)題的關(guān)鍵.
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