Question

如圖，直線y=

3

3

x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-

3

，2），且與x軸交于點(diǎn)A，將拋物線y=

1

3

x²沿x軸作左右平移，記平移后的拋物線為C，其頂點(diǎn)為P．
（1）求∠BAO的度數(shù)；
（2）拋物線C與y軸交于點(diǎn)E，與直線AB交于兩點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)線段EF∥x軸時(shí)，求平移后的拋物線C對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在拋物線y=

1

3

x²平移過(guò)程中，將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，點(diǎn)D能否落在拋物線C上？如能，求出此時(shí)拋物線C頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；如不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)B（-

3

，2）在直線y=

3

3

x+b上，所以把B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出未知數(shù)的值，進(jìn)而求出其解析式．根據(jù)直線解析式可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)及直線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出∠BAO的度數(shù)．
（2）根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)可設(shè)出拋物線平移后的解析式，由拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出E點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸直線，根據(jù)EF∥x軸可知E，F(xiàn)，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱，可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，把此坐標(biāo)代入（1）所求的直線解析式就可求出未知數(shù)的值，進(jìn)而求出拋物線C的解析式．
（3）根據(jù)特殊角求出D點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式，將表達(dá)式代入解析式，看能否計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo)，若能，則D點(diǎn)在拋物線C上．反之，不在拋物線上．

解答：解：（1）設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)N，
將x=-

3

，y=2代入y=

3

3

x+b得b=3，
∴y=

3

3

x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)x=-3

3

∴A（-3

3

，0），N（0，3）；
∴OA=3

3

，ON=3，
∴tan∠BAO=

ON

OA

=

3

3

∴∠BAO=30°，

（2）設(shè)拋物線C的解析式為y=

1

3

（x-t）²，則P（t，0），E（0，

1

3

t²），
∵EF∥x軸且F在拋物線C上，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知F（2t，

1

3

t²），
把x=2t，y=

1

3

t²代入y=

3

3

x+3
得

2 3

3

t+3=

1

3

t²
解得t₁=-

3

，t₂=3

3

（1分）
∴拋物線C的解析式為y=

1

3

（x-3

3

）²或y=

1

3

（x+

3

）²．

（3）假設(shè)點(diǎn)D落在拋物線C上，
不妨設(shè)此時(shí)拋物線頂點(diǎn)P（m，0），則拋物線C：y=

1

3

（x-m）²，AP=3

3

+m，
連接DP，作DM⊥x軸，垂足為M．由已知，得△PAB≌△DAB，
又∵∠BAO=30°，
∴△PAD為等邊三角形，
PM=AM=

1

2

（3

3

+m），
∴tan∠DAM=

DM

AM

=

3

，
∴DM=

1

2

（9+

3

m），
OM=PM-OP=

1

2

（3

3

+m）-m=

1

2

（3

3

-m），
∴M=[-

1

2

（3

3

-m），0]，
∴D[-

1

2

（3

3

-m），

1

2

（9+

3

m）]，
∵點(diǎn)D落在拋物線C上，
∴

1

2

（9+

3

m）=

1

3

[-

1

2

（3

3

-m）-m]²，即m²=27，m=±3

3

；
當(dāng)m=-3

3

時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P（-3

3

，0），點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不能構(gòu)成三角形，不符合題意，舍去．
當(dāng)m=3

3

時(shí)P為（3

3

，0）此時(shí)可以構(gòu)成△DAB，
所以點(diǎn)P為（3

3

，0），
∴當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線C上，頂點(diǎn)P為（3

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題將拋物線與直線相結(jié)合，涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，翻折變換問(wèn)題，有一定的難度．尤其（3）題是一道開(kāi)放性問(wèn)題，需要進(jìn)行探索．要求同學(xué)們有一定的創(chuàng)新能力．