Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是圓O直徑CA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PB切圓O于點(diǎn)B，點(diǎn)D是圓上的一點(diǎn)，連接AB，AD，BD，CD，PB=BC．

（1）求證：OP=2OC；

（2）若OC=5，sin∠DCA=，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4+3

【解析】

（1）連接OB，由切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出得出∠P=30°，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）作AH⊥BD于H，由圓周角定理和三角函數(shù)得出AC=10，CD=8，AD=6，由直角三角形的性質(zhì)得出AB=AC=5，由三角函數(shù)得出AH=3，BH=4，求出DH=AH=3，即可得出結(jié)果．

（1）證明：如圖1，連接OB，

∵PB切圓O于點(diǎn)B，

∴∠OBP=90°，

∴∠P+∠POB=90°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠POB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB，

∵PB=BC，

∴∠P=∠OCB，

∴∠P+∠POB=∠P+2∠OCB=3∠P=90°，

∴∠P=30°，

∴OP=2OB=2OC；

（2）解：如圖2，作AH⊥BD于H，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，∠ABC=90°

∵OC=5，sin∠DCA=，

∴AC=10，CD=8，AD=6，

∵∠OCB=30°，

∴AB=AC=5，

∵sin∠ABD=sin∠DCA=，

∴AH=3，BH=4，

∵∠ADH=∠OCB=30°，

∴DH=AH=3，

∴BD=BH+DH=4+3．