【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,開(kāi)口向下的拋物線y=ax2+bx+c交y軸于A點(diǎn),交x軸于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)).已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣5),BC=4,拋物線過(guò)點(diǎn)(2,3).

(1)求此拋物線的解析式;
(2)記拋物線的頂點(diǎn)為M,求△ACM的面積;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣5)可知c=﹣5,

又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),

∴4a+2b﹣5=0①,

設(shè)B(x1,0),C(x2,0),則(x1﹣x22=16.即(x1+x22﹣2x1x2=16.

∵x1+x2=﹣ ,x1x2=

+ =16②.

將方程①與方程②聯(lián)立,解得:a=﹣1,b=6.

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+6x﹣5


(2)

解:如圖1所示:記AM與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D.

∵y=﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣3)2+4,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,4).

設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b.

∵將A(0,﹣5)、M(3,4)代入得 ,解得:k=3,b=﹣5,

∴直線AM的解析式為y=3x﹣5.

∵令y=0得:3x﹣5=0.解得:x= ,

∴D( ,0).

∵令拋物線的y=0得:﹣x2+6x﹣5=0,解得x1=1,x2=5,

∴C(5,0).

∴SACM=SCDA+SCDM= ×(5﹣ )×(4+5)=15


(3)

解:①當(dāng)∠PCA=90°時(shí),如圖2所示:過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AC,交拋物線與點(diǎn)P.

設(shè)AC的解析式為y=kx+b.

∵將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得: ,解得:k=1,b=﹣5,

∴直線AC的解析式為y=x﹣5.

設(shè)PC的解析式為y=k1x+b1.

∵PC⊥AC,

∴k1=﹣1.

∴直線PC的解析式為y=﹣x+b1

∵將C(5,0)代入得:﹣5+b=0,解得;b=5,

∴PC的解析式為y=﹣x+5.

∵將y=﹣x+5代入y=﹣x2+6x﹣5得:﹣x2+6x﹣5=﹣x+5,整理得:x2﹣7x+10=0,解得;x1=2,x2=5(舍去).

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)

②當(dāng)∠PAC=90°時(shí),如圖3所示:

∵AP⊥AC,A(0,﹣5)

∴AP的解析式為y=﹣x﹣5.

將y=﹣x﹣5代入y=﹣x2+6x﹣5得:﹣x2+6x﹣5=﹣x﹣5,整理得:x2﹣7x=0,解得;x1=7,x2=0(舍去).

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,﹣12).

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)或(7,12)


【解析】(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得c的值,將(2,3)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的二元一次方程,設(shè)B(x1 , 0),C(x2 , 0),由題意可得到(x1﹣x22=16.結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得到關(guān)于a、b的另一個(gè)方程,將兩個(gè)方程聯(lián)立可求得a、b的值,從而得到拋物線的解析式;(2)記AM與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D.先求得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而可求得AM的解析式,然后再求得點(diǎn)D的坐標(biāo),最后依據(jù)SACM=SCDA+SCDM求解即可;(3)先求得AC的解析式,①當(dāng)∠PCA=90°時(shí),可求得PC的解析式,然后求得PC與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可;②當(dāng)∠PAC=90°時(shí),可求得PC的解析式然后求得PC與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)),還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

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【題目】如圖1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)NNP⊥AD于點(diǎn)P,連接ACNP于點(diǎn)Q,連接MQ.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

1AM= ,AP= .(用含t的代數(shù)式表示)

2)當(dāng)四邊形ANCP為平行四邊形時(shí),求t的值

3)如圖2,將△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某時(shí)刻t,

使四邊形AQMK為為菱形,若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由

使四邊形AQMK為正方形,則AC=

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(1)求證:△CAF∽△CBE;
(2)若AE:EC=2:1,求tan∠BEF的值.

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【題目】以下四個(gè)命題:①如果三角形一邊的中點(diǎn)到其他兩邊距離相等,那么這個(gè)三角形一定是等腰三角形:②兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形:③一組數(shù)據(jù)2,4,6.4的方差是2;④△OAB與△OCD是以O(shè)為位似中心的位似圖形,且位似比為1:4,已知∠OCD=90°,OC=CD.點(diǎn)A、C在第一象限.若點(diǎn)D坐標(biāo)為(2 ,0),則點(diǎn)A坐標(biāo)為( ),其中正確命題有(填正確命題的序號(hào)即可)

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A.5cm
B.6cm
C.7cm
D.8cm

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【題目】數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次課外活動(dòng),過(guò)程如下:

如圖①,正方形ABCD中,AB=6,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合,三角板的一邊交AB于點(diǎn)P,另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

(1)求證:AP=CQ;

(2)如圖②,小明在圖①的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DEBC于點(diǎn)E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PEQE存在一定的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)猜測(cè)他的結(jié)論并證明.

(3)如圖③,固定三角板直角頂點(diǎn)在D點(diǎn)不動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)三角板,使三角板的一邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,另一邊交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,仍作∠PDQ的平分線DEBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接PE,若AB:AP=3:4,請(qǐng)幫小明算出 DEQ的面積.

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【題目】小華和小容都想?yún)⒓訉W(xué)校組織的數(shù)學(xué)興趣小組,根據(jù)學(xué)校分配的名額,他們兩人只能有1人參加.數(shù)學(xué)老師想出了一個(gè)主意:如圖,給他們六張卡片,每張卡片上都有一些數(shù),將化簡(jiǎn)后的數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái),再用“<”連接起來(lái),誰(shuí)先按照要求做對(duì),誰(shuí)就參加興趣小組,你也一起來(lái)試一試吧!

-(-2) (-1)3 -|-3| 0的相反數(shù)

①  、凇   、邸   、

-0.4的倒數(shù)  比-1大2.5的數(shù)

⑤       、

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【題目】已知ab,c為非零的實(shí)數(shù),則的可能值的個(gè)數(shù)為( 。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

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