Question

已知點(diǎn)I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A₁，B₁，C₁分別是點(diǎn)I關(guān)于BC，CA，AB的對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn)B在△A₁B₁C₁的外接圓上，則∠ABC等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)題目說明勾勒如圖所示．通過圖很容易知道IA₁=IB₁=IC₁=2r（r為△ABC的內(nèi)切圓半徑）．在Rt△IBD中，利用直角三角形性質(zhì)，斜邊是直角邊的2倍，則該直角邊所對(duì)的角為30°．即可知∠IBD=30°．同理，∠IBA=30°，于是∠ABC=60°．問題得解．
解答：解：∵IA₁=IB₁=IC₁=2r（r為△ABC的內(nèi)切圓半徑）
∴I點(diǎn)同時(shí)是△A₁B₁C₁的外接圓的圓心
設(shè)IA₁與BC的交點(diǎn)為D，則IB=IA₁=2ID
∴∠IBD=30°
同理，∠IBA=30°，于是∠ABC=60°
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角形外接圓與外心、直角三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是首先根據(jù)題意畫出幾何圖形，再將求角大小轉(zhuǎn)化為在直角三角形中求角的大小．