Question

已知點(diǎn)I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A₁、B₁、C₁分別是點(diǎn)I關(guān)于邊BC，CA，AB的對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn)B在△A₁B₁C₁的外接圓上，則∠ABC等于

 

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Answer 1

分析：首先要抓住I是內(nèi)心，即是三角形角平分線的交點(diǎn)，即可得∴∠DBI=

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∠ABC，又由A₁、B₁、C₁分別是點(diǎn)I關(guān)于邊BC，CA，AB的對(duì)稱點(diǎn)，可得ID=A₁D=

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2

IA₁，∠BDI=90°，即可求得∠ABC的度數(shù)．

解答：解：∵I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，
∴∠DBI=

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∠ABC，
∵A₁、B₁、C₁分別是點(diǎn)I關(guān)于邊BC，CA，AB的對(duì)稱點(diǎn)，
∴ID=A₁D=

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IA₁，∠BDI=90°，
∵點(diǎn)B在△A₁B₁C₁的外接圓上，
∴IB=IA₁，
∴ID=

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IB，
∴∠IBD=30°，
∴∠ABC=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的內(nèi)心與對(duì)稱性，以及直角三角形的知識(shí)．注意此題圖形復(fù)雜，仔細(xì)識(shí)圖，合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵．