Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點C（0，﹣3）．

（1）求此二次函數(shù)的解析式．

（2）若拋物線的頂點為D，點E在拋物線上，且與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AE交對稱軸于點F，試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由．

（3）若點M在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A，E，M，P為頂點且以AE為一邊的平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）四邊形EFCD是正方形；

（3）當(dāng)P點坐標(biāo)為（1+，2）或（1﹣，2）或（0，﹣2）時，存在以A，E，M，P為頂點且以AE為一邊的平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．

（2）結(jié)論四邊形EFCD是正方形．如圖1中，連接CE與DF交于點K．求出E、F、D、C四點坐標(biāo)，只要證明DF⊥CE，DF=CE，KC=KE，KF=KD即可證明．

（3）如圖2中，存在以A，E，M，P為頂點且以AE為一邊的平行四邊形．根據(jù)點P的縱坐標(biāo)為2或﹣2，即可解決問題．

試題解析：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得，

解得，∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）結(jié)論四邊形EFCD是正方形．

理由：如圖1中，連接CE與DF交于點K．

∵y=（x﹣1）2﹣4，∴頂點D（1，4），∵C、E關(guān)于對稱軸對稱，C（0，﹣3），

∴E（2，﹣3），∵A（﹣1，0），設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，

∴，解得，

∴直線AE的解析式為y=﹣x﹣1．

∴F（1，﹣2），

∴CK=EK=1，F(xiàn)K=DK=1，

∴四邊形EFCD是平行四邊形，

又∵CE⊥DF，CE=DF，

∴四邊形EFCD是正方形．

（3）如圖2中，存在以A，E，M，P為頂點且以AE為一邊的平行四邊形．

由題意點P的縱坐標(biāo)為2或﹣2，

當(dāng)y=2時，x2﹣2x﹣3=2，解得x=1±，

可得P1（1+，2），P2（1-，2），

當(dāng)y=﹣2時，x=0，可得P3（0，﹣2），

綜上所述當(dāng)P點坐標(biāo)為（1+ ，2）或（1﹣，2）或（0，﹣2）時，存在以A，E，M，P為頂點且以AE為一邊的平行四邊形．