Question

如圖，直線(xiàn)l：交x軸、y軸于A、B點(diǎn)，四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，AD=12．
（1）寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）若直線(xiàn)l沿x軸正方向平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，與BC、AD分別交于E、F點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABEF的面積為24時(shí)，求直線(xiàn)EF的表達(dá)式以及點(diǎn)F到腰CD的距離；
（3）若B點(diǎn)沿BC方向，從B到C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，A點(diǎn)同時(shí)沿AD方向，從A到D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，經(jīng)過(guò)t秒后，A到達(dá)P處，B到達(dá)Q處，問(wèn)：是否存在t，使得△PQD為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別令x=0，y=0求出A、B的坐標(biāo)．又因?yàn)榫�(xiàn)段BC平行與x軸，易求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）本題有多種證法．證明四邊形ABEF為平行四邊形求出m的值．設(shè)直線(xiàn)EF的解析式為y=x+b．利用勾股定理以及三角函數(shù)值求出有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)．然后利用輔助線(xiàn)的幫助求出點(diǎn)F到腰CD的距離．
（3）本題要依靠輔助線(xiàn)的幫助．過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥AD于K，根據(jù)勾股定理求出PQ，DQ的值．然后分情況討論t的值．（∠QDP≤∠CDP；∠DPQ=90°；∠PQD=90°）
解答：解：（1）令x=0，則y=4；y=0，則x=-3．
∴A（-3，0），B（0，4），C（6，4）．

（2）∵BC∥AD，EF∥AB，
∴四邊形ABEF為平行四邊形．
∴S_ABEF=AF×OB=4m，又S_ABEF=24，
∴m=6．
∴F（3，0）．
設(shè)直線(xiàn)EF的表達(dá)式為，
則，b=-4，
∴直線(xiàn)EF的表達(dá)式為．
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于G．
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴DG=OA=3，
在Rt△CGD中，．
過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CD于H．
在Rt△FHD中，F(xiàn)D=AD-AF=12-6=6=sin∠HDF，即，
∴．
即點(diǎn)F到腰CD的距離為．
證法二：利用相似可以求得．
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CD于H．
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴DG=OA=3，
在Rt△CGD中，，
在Rt△FHD中，F(xiàn)D=AD-AF=12-6=6．
由Rt△CGD∽R(shí)t△FHD得
即，∴，即點(diǎn)F到腰CD的距離為．

（3）過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥AD于K，依題意，得
BQ=t，AP=2t，PD=12-t，PK=|t-3|，DK=9-t，0≤t＜6．
于是PQ²=4²+（t-3）²=t²-6t+25；
DQ²=4²+（9-t）²=t²-18t+97PD²=（12-2t）²=4t²-48t+144．
①∵∠QDP≤∠CDP，
∴∠QDP不可能為直角．
②若∠DPQ=90°，則PQ²+PD²=DQ²，t²-6t+25+4t²-48t+144=t²-18t+97．
整理得t²-9t+18=0．
解得t=3或t=6（舍去）．
③若∠PQD=90°，則PQ²+DQ²=PD²，t²-6t+25+t²-18t+97=4t²-48t+144．
整理得t²-12t+11=0，解得t=1或t=11（舍去）．
綜上所述，當(dāng)t=3或t=1時(shí)，△PQD為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分段函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，一次函數(shù)的綜合利用以及勾股定理的應(yīng)用，難度較大．