Question

如圖，直線(xiàn)l₁分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，且AO=8，BO=8

3

，與直線(xiàn)y=

3

x交于點(diǎn)C．平行于y軸的直線(xiàn)L₂從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右平移，到C點(diǎn)時(shí)停止；l₂分別交線(xiàn)段BC、OC、x軸于點(diǎn)D、E、P，以DE為邊向左側(cè)作等邊△DEF，設(shè)直線(xiàn)l₂的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）直接寫(xiě)出直線(xiàn)l₁的解析式；
（2）以D、E、O、F為頂點(diǎn)的多邊形能否為梯形，若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)△DEF與△BCO重疊部分的面積為S（平方單位），試探究：S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=0，y=OB，當(dāng)y=0，求得k值，從而求得直線(xiàn)表達(dá)式；
（2）依題意P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x即為t，根據(jù)l₁，l₂的解析式表示DE的長(zhǎng)，當(dāng)F點(diǎn)落在y軸上時(shí)，四邊形DEOF為梯形，此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為DE的二分之根號(hào)3倍，列方程求解；
（3）以P點(diǎn)落在y軸為分界，求出分界時(shí)，t的值，按照P點(diǎn)在△BOC外，P點(diǎn)在△BOC內(nèi)，兩種情況，求得面積的表達(dá)式．

解答：解：（1）設(shè)直線(xiàn)1為y=kx+b，
當(dāng)x=0時(shí)，y=b=OB=8

3

，
當(dāng)y=0時(shí)，-8

3

=8k，則k=-

3

，
所以直線(xiàn)為：y=-

3

x+8

3

①；

（2）當(dāng)F在y軸上時(shí)，OFDE四點(diǎn)成為梯形，
設(shè)P（x，0），
∵直線(xiàn)y=

3

x，
∴∠EOP=60°，
∴OE=2OP，
∴OE=2x，
則DE=

2 3 x

3

，
由（1）所得DE=-

3

x+8

3

-

3

x=-2

3

x+8

3

，
解得x=3即t=3；

（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x_P，
∵直線(xiàn)1y=-

3

x+8

3

與直線(xiàn)y=

3

x交于點(diǎn)C，
∴C（4，4

3

）；
當(dāng)x_P=0時(shí)，則S=0；
當(dāng)0＜x_P＜3時(shí)，
由以上DE=-2

3

t+8

3

，
梯形的上底=DE-2DM=-2

3

t+8

3

-

2 3 t

3

，
所以面積S=

1

2

×(DE+HN)t=-

7 3 t2

3

+ 8

3

t．
當(dāng)3≤x_P＜4時(shí)，△DEF與△BCO重疊部分的面積為△DEF的面積，
∴S=

1

2

×DE×FV
=（-

3

t+4

3

）×（-3t+12）
=3

3

t²-24

3

t+48

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，（1）當(dāng)x=0，y=OB，當(dāng)y=0，求得k值，從而求得直線(xiàn)表達(dá)式．（2）依題意P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x即為t，根據(jù)l₁，l₂的解析式表示DE的長(zhǎng)，當(dāng)F點(diǎn)落在y軸上時(shí)，四邊形DEOF為梯形，從而列式計(jì)算得．（3）當(dāng)P在y軸或者在三角形BOC外，則S=0；P點(diǎn)在△BOC內(nèi)，兩種情況，部分求面積的表達(dá)式．