【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C,與x軸交于點A、B,且AB=2,拋物線的對稱軸為直線x=2;
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)如果拋物線的對稱軸上存在一點P,使得△APC周長的值最小,求此時P點坐標及△APC周長;
(3)設(shè)D為拋物線上一點,E為對稱軸上一點,若以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形,求點D的坐標.(直接寫出結(jié)果)
【答案】(1)y=x2-4x+3.(2).()點D的坐標可以為:(2,-1)、(0,3)、(4,3).
【解析】
試題分析:(1)由AB=2,拋物線的對稱軸為x=2,得知拋物線與x軸交點為(1,0)、(3,0),即1、3為方程x2+bx+c=0的兩個根,結(jié)合跟與系數(shù)的關(guān)系可求得b、c;
(2)由拋物線的對稱性,可得出PA+PC最短時,P點為線段BC與對稱軸的交點,由此可得出結(jié)論;
(3)平行四邊形分兩種情況,一種AB為對角線,由平行四邊形對角線的性質(zhì)可求出D點坐標;另一種,AB為一條邊,根據(jù)對比相等,亦能求出D點的坐標.
試題解析:(1)∵AB=2,對稱軸為直線x=2,
∴點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(3,0),
∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A,B,
∴1,3是方程x2+bx+c=0的兩個根,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得1+3=-b,1×3=c,
∴b=-4,c=3,
∴拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-4x+3.
(2)連接AC,BC,BC交對稱軸于點P,連接PA,如圖1,
由(1)知拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-4x+3,點A,B的坐標分別為(1,0),(3,0),
∴點C的坐標為(0,3),
∴BC=,AC=.
∵點A,B關(guān)于對稱軸直線x=2對稱,
∴PA=PB,
∴PA+PC=PB+PC,此時,PB+PC=BC,
∴當點P在對稱軸上運動時,PA+PC的最小值等于BC,
∴△APC周長的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=.
(3)以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況,
①線段AB為對角線,如圖2,
∵平行四邊對角線互相平分,
∴DE在對稱軸上,此時D點為拋物線的頂點,
將x=2代入y=x2-4x+3中,得y=-1,
即點D坐標為(2,-1).
②線段AB為邊,如圖3,
∵四邊形ABDE為平行四邊形,
∴ED=AB=2,
設(shè)點E坐標為(2,m),則點D坐標為(4,m)或(0,m),
∵點D在拋物線上,
將x=0和x=4分別代入y=x2-4x+3中,解得m均為3,
故點D的坐標為(4,3)或(0,3).
綜合①②得點D的坐標可以為:(2,-1)、(0,3)、(4,3).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.
(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三角形按邊的關(guān)系可分為_________和___________,而等腰三角形又分
為___________________和_____________.三角形按內(nèi)角大小可為___________、____________和_____________.
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