【題目】如圖,已知在矩形中,,,,分別是四個內角的平分線,,相交于點,,相交于點求證:四邊形是正方形.
【答案】見解析.
【解析】
根據矩形的性質和角平分線定義易得△FDC、△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形,則∠E=∠F=∠EMF=∠ENF=90°,可得四邊形EMFN是矩形,然后證明△FDC≌△EAB,求出ME=MF即可證得結論.
證明:∵在矩形ABCD中,,,,分別是四個內角的平分線,
∴∠FDC=∠FCD=45°,
∴△FDC是等腰直角三角形,
同理可得:△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形,
∴∠E=∠F=∠EMF=∠ENF=90°,
∴四邊形EMFN是矩形,
在△FDC和△EAB中,,
∴△FDC≌△EAB(ASA),
∴FD=EA,
又∵MD=MA,
∴ME=MF,
∴矩形EMFN是正方形.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與x軸,y軸分別交于A,B,與反比例函數(k>0)在第一象限的圖象交于點E,F,過點E作EM⊥y軸于M,過點F作FN⊥x軸于N,直線EM與FN交于點C,若,則△OEF與△CEF的面積之比是( 。
A.2:1B.3:1C.2:3D.3:2
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【題目】下面是小元設計的“作已知角的角平分線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:如圖,∠AOB.
求作:∠AOB的角平分線OP.
作法:如圖,
①在射線OA上任取點C;
②作∠ACD=∠AOB;
③以點C為圓心CO長為半徑畫圓,交射線CD于點P;
④作射線OP;
所以射線OP即為所求.
根據小元設計的尺規(guī)作圖過程,完成以下任務.
(1)補全圖形;
(2)完成下面的證明:
證明:∵ ∠ACD=∠AOB,
∴ CD∥OB(____________)(填推理的依據).
∴∠BOP=∠CPO.
又∵ OC=CP,
∴∠COP=∠CPO(____________)(填推理的依據).
∴∠COP=∠BOP.
∴ OP平分∠AOB.
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【題目】工人師傅用一塊長為10dm,寬為6dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器,需要將四角各裁掉一個正方形.(厚度不計)
(1)在圖中畫出裁剪示意圖,用實線表示裁剪線,虛線表示折痕;并求長方體底面面積為12dm2時,裁掉的正方形邊長多大?
(2)若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的五倍,并將容器進行防銹處理,側面每平方分米的費用為0.5元,底面每平方分米的費用為2元,裁掉的正方形邊長多大時,總費用最低,最低為多少?
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【題目】港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋.如圖是港珠澳大橋的海豚塔部分效果圖,為了測得海豚塔斜拉索頂端A距離海平面的高度,先測出斜拉索底端C到橋塔的距離(CD的長)約為100米,又在C點測得A點的仰角為30°,測得B點的俯角為20°,求斜拉索頂端A點到海平面B點的距離(AB的長).(已知≈1.732,tan20°≈0.36,結果精確到0.1)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,⊙O的半徑為1,點A在x軸的正半軸上,B為⊙O上一點,過點A、B的直線與y軸交于點C,且OA2=ABAC.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)若AB=,求直線AB對應的函數表達式.
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【題目】如圖,已知A(-4,n)、B(3,4)是一次函數y1=kx+b的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點,過點D(t,0)(0<t<3)作x軸的垂線,分別交雙曲線和直線y1=kx+b于P、Q兩點
(1) 直接寫出反比例函數和一次函數的解析式
(2) 當t為何值時,S△BPQ=S△APQ
(3) 以PQ為邊在直線PQ的右側作正方形PQMN,試說明:邊QM與雙曲線(x>0)始終有交點
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