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【題目】ABC中,BD,CE分別是∠ABC,ACB平分線,BD,CE相交于點P.

(1)如圖1,如果∠A=60°,ACB=90°,則∠BPC= ;

(2)如圖2,如果∠A=60°,ACB不是直角,請問在(1)中所得的結論是否仍然成立?若成立,請證明:若不成立,請說明理由.

(3)小月同學在完成(2)之后,發(fā)CD、BE、BC三者之間存在著一定的數量關系,于是她在邊CB上截取了CF=CD,連接PF,可證CDP≌△CFP,請你寫出小月同學發(fā)現,并完成她的說理過程.

【答案】(1) 120°; (2) 成立 (3) BC=CD+BE

【解析】

(1)先根據三角形內角和定理求出∠ABC=30,再用角平分線的意義求出∠PCB=45°,∠PBC=15°,最后用三角形的內角和定理即可得出結論;
(2)先根據角平分線的意義,求出∠ACB=2∠PCB,∠ABC=2∠PBC,再根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°,最后用三角形內角和定理即可得出結論;
(3)先判斷出△DCP≌△FCP(SAS),得出CD=CF,∠DPC=∠FPC=60°,進而判斷出∠PBF=∠PBE,即可判斷出△FPB≌△EPB,最后用等量代換即可得出結論.

解:(1)∵∠A=60°,ACB=90°,根據三角形內角和定理得,∠ABC=180°﹣60°﹣90°=30°,

BD,CE分別是∠ABC,ACB平分線,

∴∠PCB=ACB=45°,PBC=PBC=15°,

PBC中,根據三角形的內角和定理得,∠BPC=180°﹣PCB﹣PBC=180°﹣45°﹣15°=120°,

(2)結論仍然成立,

理由:∵BD,CE分別是∠ABC,ACB平分線,

∴∠ACB=2PCB,ABC=2PBC,

∵∠A=60°,

ABC中,∠A+ABC+ACB=180°,

∴∠ABC+ACB=180°﹣A=120°,

2PCB+2PBC=120°,

∴∠PCB+PBC=60°,

PBC中,∠BPC+PCB+PBC=180°,

∴∠BPC=180°﹣(PCB+PBC)=180°﹣60°=120°

(3)BC=CD+BE,理由:如圖2,

由(2)知,∠BPC=120°,

∴∠DPC=EPB=60°,在邊CB上截取了CF=CD,連接PF,

CE是∠ACB的平分線,

∴∠DCP=FCP,

DCPFCP中,

,

∴△DCP≌△FCP(SAS),

CD=CF,DPC=FPC=60°,

∴∠BPC=BPC﹣FPC=60°=EPB,

BD是∠ABC的平分線,

∴∠PBF=PBE,

FPBEPB中,

,

∴△FPB≌△EPB,BF=BE,

BC=CF+BF=CD+BE.

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