Question

如圖，C為以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)互相垂直，垂足為點(diǎn)D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）過(guò)點(diǎn)O作線(xiàn)段AC的垂線(xiàn)OE，垂足為點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（3）若CD=4，AC=4

5

，求垂線(xiàn)段OE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由CD為圓O的切線(xiàn)，得到OC與CD垂直，由AD與DC垂直，根據(jù)平面內(nèi)垂直于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行得到OC與AD平行，利用兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換可得出∠OAC=∠DAC，得證；
（2）由OA=OC，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)逆定理得到O在線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)上，故只需再找一點(diǎn)可確定出垂線(xiàn)OE，分別以A和C為圓心，大于

1

2

AC長(zhǎng)為半徑，在AC上方交于一點(diǎn)，由此點(diǎn)與點(diǎn)O作一條直線(xiàn)，與AC交于E點(diǎn)，即可得到所求作的直線(xiàn)；
（3）在直角三角形ACD中，由AC及CD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再由OE垂直于AC，利用垂徑定理得到E為AC的中點(diǎn)，由AC的長(zhǎng)求出AE的長(zhǎng)，由一對(duì)直角相等，及第一問(wèn)角平分線(xiàn)得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似，得到三角形AOE與三角形ACD相似，由相似得比例，將各自的值代入即可求出OE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：連接OC，
∵CD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB；

（2）點(diǎn)O作線(xiàn)段AC的垂線(xiàn)OE，如圖所示：

∴直線(xiàn)OE為所求作的直線(xiàn)；

（3）在Rt△ACD中，CD=4，AC=4

5

，
根據(jù)勾股定理得：AD=

AC2-CD2

=8，
∵OE⊥AC，
∴AE=EC=2

5

，
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴

AE

AD

=

EO

DC

，
∴OE=

AE•DC

AD

=

2 5 ×4

8

=

5

，即垂線(xiàn)段OE的長(zhǎng)為

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及垂徑定理，屬于圓的綜合題，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題關(guān)鍵．