【題目】課本中有一道作業(yè)題:有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上.

(1)加工成的正方形零件的邊長是多少mm?

(2)如果原題中要加工的零件是一個矩形,且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成,如圖1,此時,這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少?請你計算.

(3)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形,如圖2,這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定,但這個矩形面積有最大值,求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長.

【答案】加工成的正方形零件的邊長是;這個矩形零件的兩條邊長分別為,;的最大值為,此時,

【解析】

(1)設(shè)正方形的邊長為xmm,則PN=PQ=ED=x,AE=ADED=80x,通過證明APN∽△ABC,利用相似比可得到,然后根據(jù)比例性質(zhì)求出x即可;

(2)由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成,則可設(shè)PQ=x,則PN=2x,AE=80x,然后與(1)的方法一樣求解;

(3)設(shè)PN=x,用PQ表示出AE的長度,然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答.

(1)如圖

設(shè)正方形的邊長為,則

,

,

,即

解得

∴加工成的正方形零件的邊長是;

如圖

設(shè),則,,

,

,即

解得:,

,

∴這個矩形零件的兩條邊長分別為,

如圖,

設(shè),矩形的面積為,

由條件可得

,

,

解得:

,

的最大值為,此時,

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