Question

如圖所示，OACB是矩形，C（a，b），點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=

4

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)D且交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：△AOE與△BOD的面積相等；
（2）求證：點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)；
（3）當(dāng)OE⊥DE時(shí)，試求OB²-OA²的值．

Answer 1

（1）證明：∵E，D點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，
∴E，D橫縱坐標(biāo)乘積相等，
∵△AOE為

1

2

×AO×AE=

1

2

xy=2，△BOD的面積為：

1

2

×BO×DB=

1

2

xy=2，
∴△AOE與△BOD的面積相等；

（2）證明：∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，△AOE與△BOD的面積相等，即

1

2

×AO×AE=

1

2

×BO×DB，
∴

1

2

×2BD×AE=

1

2

×BO×DB，
∴2AE=BO，
∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)；

（3）∵OE⊥DE，
∴∠CED+∠AEO=90°，
又∵∠AOE+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠CDE，
∵∠OAE=∠C，
∴△AOE∽△CED，
∴

AO

EC

=

AE

CD

，
∵AE=EC，CD=BD
∴AE²=AO×CD=AO×

1

2

AO=

1

2

AO²，
∴（

BO

2

）²=

1

2

AO²，
即BO²=2AO²，則BO=

2

AO，
∴BO×BD=

2

AO×

1

2

AO=

2

2

AO²=k=4，
∴OB²-OA²=AO²=4÷

2

2

=4

2

．