Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=10cm，CD=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1.5cm/秒的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/秒的速度沿CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（P、Q兩點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)即終止），設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒：
（1）當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，PQ把梯形分成兩個(gè)特殊圖形是

平行四邊形

、

等腰三角形

；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，當(dāng)四邊形DEPQ是矩形時(shí)，求t的值；
（3）探索：是否存在這樣的t值，使四邊形PBCQ的面積是四邊形APQD面積的2倍？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出t，求出AP、BP，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可，得出AD=DP=BC，根據(jù)等腰三角形的定義判斷即可；
（2）求出AE，QD，EP，根據(jù)DQ=EP得出4-t=1.5t-3，求出即可；
（3）分別求出兩個(gè)梯形的面積，根據(jù)題意得出方程，求出t的值即可．

解答：解：（1）平行四邊形、等腰三角形，
理由是：∵當(dāng)Q到D時(shí)，t=4÷1=4，
則AP=1.5×4=6，
∴BP=AB-AP=10-6=4，
∴BP=CD，
∵DC∥AB，
∴四邊形CDPB是平行四邊形，
∴DP=BC=AD，
∴△DPA是等腰三角形，
故答案為：平行四邊形，等腰三角形．

（2）過C作CF⊥AB于F，
則四邊形DCFE是矩形，
DC=EF=4，DE=CF，
由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，BF²=BC²-CF²，
∵AD=BC，
∴AE=BF=

1

2

×（10-4）=3，
當(dāng)DEPQ是矩形時(shí)，DQ=EP，
∴4-t=1.5t-3，
解得t=

14

5

（秒）；

（3）存在，
理由是：設(shè)梯形ABCD的高為h，Q不與D重合（Q與D重合不符題意），
則四邊形PBCQ和APQD都是梯形，
S_梯形PBCQ=

(t+10-1.5t)h

2

=

1

2

h(10-0.5t)，
S_梯形APQD=

(4-t+1.5t)h

2

=

1

2

h(4+0.5t)，
∴10-0.5t=2（4+0.5t），
解得t=

4

3

（秒），
∴存在t，t=

4

3

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．