Question

如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）寫(xiě)出圖中兩對(duì)相似三角形；
（2）連接FG，如果α=45°，AB=4

2

，AF=3，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，∠DME=∠A=∠B=α，結(jié)合圖形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，△AMF∽△BGM；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推出BG的長(zhǎng)度，依據(jù)銳角三角函數(shù)推出AC的長(zhǎng)度，即可求出CG、CF的長(zhǎng)度，繼而推出FG的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，

（2）當(dāng)α=45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC=BC，
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，
∴AM=BM=2

2

，
∵∠DME=∠A=∠B=α，∠FMB是△AFM的外角，
∴∠FMB=∠A+∠AFM=∠DME+∠GMB，
∴∠AFM=∠GMB，
∴△AMF∽△BGM，
∴

AF

AM

=

BM

BG

∴BG=

AM•BM

AF

=

2 2 ×2 2

3

=

8

3

，AC=BC=4

2

cos45°=4，
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CF=4-3=1，
∴FG=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵找到相似的三角形，根據(jù)其性質(zhì)求出BG、AC的長(zhǎng)度．