Question

如圖，在中，AB=AC，以AB為直徑的交BC于點(diǎn)M，于點(diǎn)N.

(1)求證：MN是⊙O的切線；
(2)若，AB=2，求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；（2）．

試題分析：（1）有切點(diǎn)，需連半徑，證明垂直，即可；
（2）求陰影部分的面積要把它轉(zhuǎn)化成S_梯形ANMO-S_扇形OAM，再分別求的這兩部分的面積求解．
試題解析：（1）證明：連接OM．

∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OMB=∠C．
∴OM∥AC．
∵M(jìn)N⊥AC，
∴OM⊥MN．
∵點(diǎn)M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切線．
（2）解：連接AM．

∵AB為直徑，點(diǎn)M在⊙O上，
∴∠AMB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于點(diǎn)N，
∴∠AMN=30°．
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=．
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=
∴S_梯形ANMO=，S_扇形OAM=，
∴S_陰影=．   
考點(diǎn): 切線的判定；扇形面積的計(jì)算；解直角三角形．