Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連結DE并延長交BC的延長線于點F．
（1）求證：∠BDF=∠F；
（2）如果CF＝1，sinA＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）由CF＝1，sinA＝，在Rt△ABC和Rt△AOC中分別應用銳角三角函數(shù)定義求解．
（1）如圖，連接OE，#%源:中國教育^&出版網(wǎng)@]
∵AC與圓O相切，
∴OE⊥AC.
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC.
∴∠1=∠F. 
又∵OE=OD，
∴∠1=∠2.
∴∠BDF=∠F.
（2）∵sinA＝，∴可設BC=3x， AB=5x.
又∵CF=1，∴BF=3x+1.
由（1）得：∠BDF=∠F ，∴BD=BF.
∴BD=3x+1.中國
∴OE=OB=， AO=AB﹣OB=.]
∵ sinA＝，
∴，即，解得：x=.
∴⊙O的半徑為．