Question

如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為y=x和y=-2x+6，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在OB上移動(dòng)（0＜x＜3），過(guò)點(diǎn)P作直線l與x軸垂直．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AP+CP最��；
（3）設(shè)△OBC中位于直線l左側(cè)部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）將兩直線的y相等即可求出C的坐標(biāo)；
（2）畫(huà)出A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后連接C，與x軸交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)P；
（3）分情況討論，當(dāng)l在C左側(cè)和l在C右側(cè)兩種情況．

解答：解：（1）兩直線的解析式相等可得：x=-2x+6，
解得x=2，所以y=2，
所以C的坐標(biāo)是（2，2）

（2）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A₁為（0，-1），
直線A₁C的解析式為y=

3

2

x-1，
直線A₁C與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

2

3

，0），
所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（

2

3

，0）時(shí)，AP+CP最�。�

（3）∵C（2，2），B（3，0），
∴OB=3，
∴S_△OCB=

1

2

×3×2=3，
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，即l在點(diǎn)C左側(cè)，
∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，0），
∴與直線y=x的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x，x），
∴S=

1

2

•x•x=

1

2

x²；
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，即l在點(diǎn)C右側(cè)，
∵P（x，0），
∴直線l與直線BC的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x，-2x+6），
∴S_△BDP=

1

2

×PB×PD=

1

2

•（3-x）•（-2x+6）=（3-x）²
所以S=S_△OCB-S_△BPD=3-（3-x）²（或S=-x²+6x-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)于一次函數(shù)圖象的應(yīng)用，以及平面展開(kāi)最短路徑的相關(guān)問(wèn)題．