Question

如圖，直線(xiàn)OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別是y₁=x和y₂=-2x+6，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在OB上運(yùn)動(dòng)（0＜x＜3），過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)m與x軸垂直．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并回答當(dāng)x取何值時(shí)y₁＞y₂？
（2）設(shè)△COB中位于直線(xiàn)m左側(cè)部分的面積為s，求出s與x之間函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，直線(xiàn)m平分△COB的面積？

Answer 1

分析：（1）由于C是直線(xiàn)OC、BC的交點(diǎn)，根據(jù)它們的解析式即可求出坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象和交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出當(dāng)x取何值時(shí)y₁＞y₂；
（2）此小題有兩種情況：①當(dāng)0＜x≤2，此時(shí)直線(xiàn)m左側(cè)部分是△PQO，由于P（x，0）在OB上運(yùn)動(dòng)，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s與x之間函數(shù)關(guān)系式即可求出；②當(dāng)2＜x＜3，此時(shí)直線(xiàn)m左側(cè)部分是四邊形OPQC，可以先求出右邊的△PQB的面積，然后即可求出左邊的面積，而△PQO的面積可以和①一樣的方法求出；
（3）利用（2）中的解析式即可求出x為何值時(shí)，直線(xiàn)m平分△COB的面積．

解答：解：（1）依題意得
解方程組

y=x y=-2x+6

，
得

x=2 y=2

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；
根據(jù)圖示知，當(dāng)x＞2時(shí)，y₁＞y₂；

（2）如圖，過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
則D（2，0），
∵直線(xiàn)y₂=-2x+6與x軸交于B點(diǎn)，
∴B（3，0），
①當(dāng)0＜x≤2，此時(shí)直線(xiàn)m左側(cè)部分是△P′Q′O，
∵P′（x，0），
∴OP′=x，
而Q′在直線(xiàn)y₁=x上，
∴P′Q′=x，
∴s=

1

2

x²（0＜x≤2）；

②當(dāng)2＜x＜3，此時(shí)直線(xiàn)m左側(cè)部分是四邊形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=3-x，
而Q在直線(xiàn)y₂=-2x+6上，
∴PQ=-2x+6，
∴S=S_△BOC-S_△PBQ=

1

2

×CD×OB-

1

2

×BP×PQ
=-x²+6x-6（2＜x＜3）；

（3）直線(xiàn)m平分△BOC的面積，
則點(diǎn)P只能在線(xiàn)段OD，即0＜x＜2．
又∵△COB的面積等于3，
故

1

2

x²=3×

1

2

，
解之得x=

3

．
∴當(dāng)x=

3

時(shí)，直線(xiàn)m平分△COB的面積．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的面積的求法．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)再計(jì)算．本題是函數(shù)與三角形相結(jié)合的問(wèn)題，在圖形中滲透運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題．