【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(﹣3,0)兩點.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最小?若存在,求出Q點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒有,請說明理由.
【答案】
(1)
解:將A(1,0),B(﹣3,0)代y=﹣x2+bx+c中得
∴ (3分)
∴拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3
(2)
解:存在
理由如下:由題知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸x=﹣1對稱
∴直線BC與x=﹣1的交點即為Q點,此時△AQC周長最小
∵y=﹣x2﹣2x+3
∴C的坐標(biāo)為:(0,3)
直線BC解析式為:y=x+3
Q點坐標(biāo)即為
解得
∴Q(﹣1,2)
(3)
解:存在.
理由如下:設(shè)P點(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣3<x<0)
∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣
若S四邊形BPCO有最大值,則S△BPC就最大,
∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC
= BEPE+ OE(PE+OC)
= (x+3)(﹣x2﹣2x+3)+ (﹣x)(﹣x2﹣2x+3+3)
=
當(dāng)x=﹣ 時,S四邊形BPCO最大值=
∴S△BPC最大=
當(dāng)x=﹣ 時,﹣x2﹣2x+3=
∴點P坐標(biāo)為(﹣ , )
【解析】(1)根據(jù)題意可知,將點A、B代入函數(shù)解析式,列得方程組即可求得b、c的值,求得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)題意可知,邊AC的長是定值,要想△QAC的周長最小,即是AQ+CQ最小,所以此題的關(guān)鍵是確定點Q的位置,找到點A的對稱點B,求得直線BC的解析式,求得與對稱軸的交點即是所求;(3)存在,設(shè)得點P的坐標(biāo),將△BCP的面積表示成二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)最值的方法即可求得點P的坐標(biāo).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD和正方形AEFG有一個公共點A,點G、E分別在線段AD、AB上.
(1)連接DF、BF,若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),判斷命題“在旋轉(zhuǎn)的過程中,線段DF與BF的長始終相等”是否正確?答: .
(2)若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),連接DG,在旋轉(zhuǎn)過程中,你能否找到一條線段的長與線段DG的長始終相等?并以圖為例說明理由.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分,對稱軸是直線x=1.
①b2>4ac;
②4a﹣2b+c<0;
③不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5;
④若(﹣2,y1),(5,y2)是拋物線上的兩點,則y1<y2 .
上述4個判斷中,正確的是( )
A.①②
B.①④
C.①③④
D.②③④
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【題目】如圖①,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4.將△AOB沿x軸依次以點A、B、O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn),分別得到圖②、圖③、…,則旋轉(zhuǎn)得到的圖⑩的直角頂點的坐標(biāo)為
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【題目】如圖,在△ABC中,BD是AC邊上的高,CE是AB邊上的高,BD與CE相交于點O,則∠ABD___∠ACE(填“>”“<”或“=”),∠A+∠DOE=___度.
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【題目】如圖,正方形ABCD邊長為2,E為CD的中點,以點A為中心,把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF,連接EF,則EF的長等于 .
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對稱軸為x=1,給出下列結(jié)論:①abc>0;②當(dāng)x>2時,y>0;③3a+c>0;④3a+b>0.其中正確的結(jié)論有( )
A.①②
B.①④
C.①③④
D.②③④
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【題目】為鼓勵居民節(jié)約用電,我市自2012年以來對家庭用電收費實行階梯電價,即每月對每戶居民的用電量分為三個檔級收費,第一檔為用電量在180千瓦時(含180千瓦時)以內(nèi)的部分,執(zhí)行基本價格;第二檔為用電量在180千瓦時到450千瓦時(含450千瓦時)的部分,實行提高電價;第三檔為用電量超出450千瓦時的部分,執(zhí)行市場調(diào)節(jié)價格. 我市一位同學(xué)家今年2月份用電330千瓦時,電費為213元,3月份用電240千瓦時,電費為150元.已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用電量分別為160和 410千瓦時,請你依據(jù)該同學(xué)家的繳費情況,計算這位居民4、5月份的電費分別為多少元?
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