【題目】已知如圖,拋物線y=x2+bx+c過點A(3,0),B(1,0),交y軸于點C,點P是該拋物線上一動點,點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與點A重合),過點P作PD∥y軸交直線AC于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值;
(3)△APD能否構(gòu)成直角三角形?若能請直接寫出點P坐標(biāo),若不能請說明理由;
(4)在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MA﹣MC|最大?若存在請求出點M的坐標(biāo),若不存在請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=x2+bx+c過點A(3,0),B(1,0),
∴ ,
解得 ,
∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3
(2)
解:令x=0,則y=3,
∴點C(0,3),
則直線AC的解析式為y=﹣x+3,
設(shè)點P(x,x2﹣4x+3),
∵PD∥y軸,
∴點D(x,﹣x+3),
∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣ )2+ ,
∵a=﹣1<0,
∴當(dāng)x= 時,線段PD的長度有最大值
(3)
解:如圖
①∠APD是直角時,點P與點B重合,
此時,點P(1,0),
②∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,﹣1),
∵A(3,0),
∴點P為在拋物線頂點時,∠PAD=45°+45°=90°,
此時,點P(2,﹣1),
綜上所述,點P(1,0)或(2,﹣1)時,△APD能構(gòu)成直角三角形
(4)
解:由拋物線的對稱性,對稱軸垂直平分AB,
∴MA=MB,
由三角形的三邊關(guān)系,|MA﹣MC|<BC,
∴當(dāng)M、B、C三點共線時,|MA﹣MC|最大,為BC的長度,
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
則 ,
解得 ,
∴直線BC的解析式為y=﹣3x+3,
∵拋物線y=x2﹣4x+3的對稱軸為直線x=2,
∴當(dāng)x=2時,y=﹣3×2+3=﹣3,
∴點M(2,﹣3),
即,拋物線對稱軸上存在點M(2,﹣3),使|MA﹣MC|最大
【解析】(1)把點A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式,解方程組得到b、c的值,即可得解;(2)求出點C的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,再根據(jù)拋物線解析式設(shè)出點P的坐標(biāo),然后表示出PD的長度,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答;(3)①∠APD是直角時,點P與點B重合,②求出拋物線頂點坐標(biāo),然后判斷出點P為在拋物線頂點時,∠PAD是直角,分別寫出點P的坐標(biāo)即可;(4)根據(jù)拋物線的對稱性可知MA=MB,再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點M為直線CB與對稱軸交點時,|MA﹣MC|最大,然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,再求解即可.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點B、E分別在AC、DF上,AF分別交BD、CE于點M、N,∠A=∠F,∠1=∠2.
(1)求證:四邊形BCED是平行四邊形;
(2)已知DE=2,連接BN,若BN平分∠DBC,求CN的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊AB、CD上的點,AE=CF,連接EF,BF,EF與對角線AC交于O點,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC。
(1)求證:OE=OF;
(2)若BC=,求AB的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校門前正對一條公路,車流量較大,為便于學(xué)生安全通過,特建一座人行天橋.如圖,是這座天橋的引橋部分示意圖,上橋通道由兩段互相平行的樓梯AB、CD和一段平行于地面的平臺CB構(gòu)成.已知∠A=37°,天橋高度DH為5.1米,引橋水平跨度AH為8.3米.
(1)求水平平臺BC的長度;
(2)若兩段樓梯AB:CD=10:7,求樓梯AB的水平寬度AE的長.
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈ ,cos37°≈ ,tan37°≈ )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將五個邊長都為2的正方形按如圖所示擺放,點A1、A2、A3、A4分別是四個正方形的中心,則圖中四塊陰影部分的面積的和為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】郵遞員騎摩托車從郵局出發(fā),先向東騎行2km到達(dá)A村,繼續(xù)向東騎行3km到達(dá)B村,然后向西騎行9km到C村,最后回到郵局.
(1)以郵局為原點,以向東方向為正方向,用1個單位長度表示1km,請你在數(shù)軸上表示出A、B、C三個村莊的位置;
(2)C村離A村有多遠(yuǎn)?
(3)若摩托車每1km耗油0.03升,這趟路共耗油多少升?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)y= (k≠0)與一次函數(shù)y=kx+k(k≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,動點P在平面直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運動,第1次從原點運動到點(1,1),第2次接著運動到點(2,0),第3次接著運動到點(3,2),…,按這樣的運動規(guī)律,經(jīng)過第2016次運動后,動點P的坐標(biāo)是( 。
A. (2016,1) B. (2016,0) C. (2016,2) D. (2017,0)
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